Question

10．如图甲所示，两平行金属板间接有如图乙所示的随时间t变化的交流电压u，金属板间电场可看做均匀、且两板外无电场，板长L=0.2m，板间距离d=0.1m，在金属板右侧有一边界为MN的匀强磁场，MN与两板中线OO′垂直，磁感应强度 B=5×10^-3T，方向垂直纸面向里．现有带正电的粒子流沿两板中线OO′连续射入电场中，已知每个粒子的比荷$\frac{q}{m}$=10⁸C/kg，重力忽略不计，在0-0.8×10^-5s时间内两板间加上如图乙所示的电压（不考虑极板边缘的影响）．已知t=0时刻进入两板间的带电粒子恰好在0，.2×10^-5s时刻经极板边缘射入磁场．（不考虑粒子间相互影响及返回板间的情况）．

求：
（1）求两板间的电压U₀
（2）0-0.2×10^-5s时间内射入两板间的带电粒子都能够从磁场右边界射出，求磁场的最大宽度
（3）若以MN与两板中线OO′垂直的交点为坐标原点，水平向右为x轴，竖直向上为y轴建立二维坐标系，请写出在0.3×10^-5s时刻射入两板间的带电粒子进入磁场和离开磁场（此时，磁场只有左边界，没有右边界）时的位置坐标．
（4）两板间电压为0，请设计一种方案：让向右连续发射的粒子流沿两板中线OO′射入，经过右边的待设计的磁场区域后，带电粒子又返回粒子源．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在电场中做类平抛运动，由题知，电场中偏转距离y=$\frac{d}{2}$，根据牛顿第二定律和位移公式结合，可求得两板间的电压U₀．
（2）在0-0.2×10^-5S时间内，0.2×10^-5s时刻射入两板间的带电粒子进入磁场并能够从磁场右边界射出，则其他粒子也都能从磁场的右边界射出．粒子进入磁场作匀速圆周运动，画出轨迹，由牛顿第二定律求出轨迹半径，由几何关系求解磁场的最大宽度．
（3）0.3×10^-5s时刻进入电场的粒子先做匀速直线运动，再做类平抛运动．由类平抛运动的规律求出粒子通过电场时的偏转距离．由几何关系求解带电粒子进入磁场和离开磁场时的位置坐标．
（4）两板间的电压为0，可在磁场右侧加一方向垂直纸面向外的磁场，能使带电粒子返回粒子源．

解答 解：（1）电荷在电场中作类平抛运动，
$\frac{1}{2}$d=$\frac{1}{2}$at²，加速度：a=$\frac{d}{{t}^{2}}$=2.5×10¹⁰m/s²，
由牛顿第二定律得：Eq=ma，
解得：E=$\frac{ma}{q}$=2.5×10¹⁰/10⁸=250V/m，
电势差：U₀=Ed=250×0.1=25V；
（2）在0-0.2×10^-5S时间内，0.2×10^-5S时刻射入两板间的带电粒子进入磁场并能够从磁场右边界射出，
则其他粒子也都能从磁场的右边界射出．粒子进入磁场作匀速圆周运动，
由牛顿第二定律得：Bqv=m$\frac{m{v}^{2}}{{R}_{1}}$，解得：R₁=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$，
由第一问可知：v₀=$\frac{L}{t}$=1×10⁵m/s，R₁=0.2m，
磁场的最大宽度为：D=R₁=0.2m；
（3）0.3×10^-5S时刻进入的粒子先做匀速直线运动，再做类平抛运动．
类平抛运动时间应为t=0.1×10^-5s．
若向上偏转，根据平抛运动公式得：
y₁=$\frac{1}{2}$at²=0.0125m，进入坐标为：（0m；0.0125m），
进入磁场作匀速圆周运动，R₂=$\frac{mv}{qB}$，
离开磁场时的坐标 y₂=y₁+2R₂cosθ=y₁+2$\frac{m{v}_{0}}{qB}$=0.4125m，
离开磁场左边界坐标为：（0m；0.4125m），
若向下偏转，根据平抛运动公式得：y₁=$\frac{1}{2}$at²=0.0125m，
进入坐标为：（0m，-0.0125m），
进入磁场作匀速圆周运动，R₂=$\frac{mv}{qB}$，
离开磁场时的坐标 y₂=2R₂cosθ-y₁=2$\frac{m{v}_{0}}{qB}$-y₁=0.3875m，
离开磁场左边界坐标为：（0m，0.3875m）；
（4）在磁场右侧加一方向垂直纸面向外的磁场，如图所示，能使带电粒子返回粒子源．
答：（1）两板间的电压U₀为25V．
（2）0-0.2×10^-5s时间内射入两板间的带电粒子都能够从磁场右边界射出，磁场的最大宽度为0.2m．
（3）若粒子向上偏转，进入磁场的位置坐标为 （0，0.0125 m），离开磁场左边界坐标为 （0，0.4125 m）；
若向下偏转，进入坐标为 （ 0，-0.0125m），离开磁场左边界坐标为 （0，0.3875m）
（4）在磁场右侧加一方向垂直纸面向外的磁场，如图所示，能使带电粒子返回粒子源．

点评 本题考查带电粒子在匀强电场和磁场中的运动，关键要掌握类平抛运动的处理方法：运动的分解法，掌握粒子在磁场中圆周运动的半径公式，画出粒子的运动轨迹，运用几何关系解答．