Question

(25分)图示为一固定不动的绝缘的圆筒形容器的横截面，其半径为R，圆筒的轴线在O处.圆筒内有匀强磁场，磁场方向与圆筒的轴线平行，磁感应强度为B.筒壁的H处开有小孔，整个装置处在真空中.现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子P以某一初速度沿筒的半径方向从小孔射入圆筒，经与筒壁碰撞后又从小孔射出圆筒.设：筒壁是光滑的，P与筒壁碰撞是弹性的，P与筒壁碰撞时其电荷量是不变的.若要使P与筒壁碰撞的次数最少，问：

1.P的速率应为多少？

2.P从进入圆筒到射出圆筒经历的时间为多少？

Answer 1

解析：

1.如图1所示，设筒内磁场的方向垂直纸面指向纸外，带电粒子P带正电，其速率为v.P从小孔射入圆筒中因受到磁场的作用力而偏离入射方向，若与筒壁只发生一次碰撞，是不可能从小孔射出圆筒的.但与筒壁碰撞两次，它就有可能从小孔射出.在此情形中，P在筒内的路径由三段等长、等半径的圆弧HM、MN和NH组成.现考察其中一段圆弧MN，如图2所示.由于P沿筒的半径方向入射，OM和ON均与轨道相切，两者的夹角

　　　　(1)

　　设圆弧的圆半径为r，则有　　(2)

　　圆弧对轨道圆心O′所张的圆心角　　(3)

　　由几何关系得　　(4)

　　解(2)、(3)、(4)式得　　(5)

　

　2.P由小孔射入到第一次与筒壁碰撞所通过的路径为s=βr　　(6)

　　经历时间为　　(7)

　　P从射入小孔到射出小孔经历的时间为t=3t₁　　(8)

　　由以上有关各式得　　(9)

　　评分标准：(本题25分)

　　1.17分.(1)、(2)、(3)、(4)式各3分，(5)式5分.

　　2.8分.(6)、(7)、(8)、(9)式各2分.