Question

15．如图所示，两平行金属板A、B长为L=8cm，两板间距离d=8cm，A板比B板电势高300V，一带正电的粒子电荷量为q=1.0×10^-10C、质量为m=1.0×10^-20kg，沿电场中心线RO垂直电场线飞入电场，初速度v₀=2.0×10⁶m/s，粒子飞出电场后经过界面MN、PS间的无电场区域，然后进入固定在O点的点电荷Q形成的电场区域（设界面PS右侧点电荷的电场分布不受界面的影响）．已知两界面MN、PS相距为12cm，D是中心线RO与界面PS的交点，O点在中心线上，距离界面PS为9cm，粒子穿过界面PS做匀速圆周运动，最后垂直打在置于中心线上的荧光屏bc上．（静电力常量k=9.0×10⁹ N•m²/C²，不计重力）
（1）求粒子穿过界面MN时偏离中心线RO的距离为多远；
（2）到达PS界面时离D点为多远；
（3）在图上粗略画出粒子的运动轨迹；
（4）确定点电荷Q的电性并求其电荷量的大小．（结果保留两位有效数字）．

Answer 1

分析 （1、2）带电粒子垂直进入匀强电场后，只受电场力，做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动．由牛顿定律求出加速度，由运动学公式求出粒子飞出电场时的侧移h，由几何知识求解粒子穿过界面PS时偏离中心线RO的距离；
（3）粒子先做类平抛、再做匀速直线运动，而后做匀速圆周运动，以此完成轨迹图；
（4）由运动学公式求出粒子飞出电场时速度的大小和方向．粒子穿过界面PS后将绕电荷Q做匀速圆周运动，由库仑力提供向心力，由几何关系求出轨迹半径，再牛顿定律求解Q的电量．

解答 解：（1）粒子穿过界面MN时偏离中心线RO的距离（偏移位移）：
y=$\frac{1}{2}$at²
a=$\frac{F}{m}$=$\frac{qU}{dm}$
L=v₀t
则y=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{qU}{2md}$（$\frac{L}{v0}$）²=0.03m=3cm
（2）粒子在离开电场后将做匀速直线运动，其轨迹与PS交于H，设H到中心线的距离为y′，由几何关系得：
$\frac{\frac{L}{2}}{\frac{L}{2}+12cm}=\frac{y}{y′}$
解得y′=4y=12cm
（3）第一段是抛物线、第二段是直线、第三段是圆弧，轨迹如右下图：
（4）粒子到达H点时，其水平速度v_x=v₀=2.0×10⁶ m/s
竖直速度v_y=at=1.5×10⁶ m/s
则v_合=2.5×10⁶ m/s
该粒子在穿过界面PS后绕点电荷Q做匀速圆周运动，所以Q带负电
根据几何关系可知半径r=15cm
$\frac{kqQ}{{r}^{2}}=\frac{{mv}_{合}^{2}}{r}$
解得Q≈1.0×10^-8 C
答：（1）粒子穿过界面MN时偏离中心线RO的距离为3cm；
（2）到达PS界面时离D点为12cm；
（3）见解析　
（4）点电荷Q的电性为负电，其电荷量的大小为1.0×10^-8 C．

点评 本题是类平抛运动与匀速圆周运动的综合，分析粒子的受力情况和运动情况是基础．难点是运用几何知识研究圆周运动的半径．