Question

（2013?宁波模拟）如图所示，两根不计电阻的金属导线MN与PQ放在水平面内，MN是直导线，PQ的PQ₁段是直导线，Q₁Q₂段是弧形导线，Q₂Q₃段是直导线，MN、PQ₁、Q₂Q₃相互平行，M、P间接入一个阻值R=0.25Ω的电阻．一根质量为1.0kg不计电阻的金属棒AB能在MN、PQ上无摩擦地滑动，金属棒始终垂直于MN，整个装置处于磁感应强度B=0.5T的匀强磁场中，磁场方向竖直向下．金属棒处于位置（I）时，给金属棒一个向右的速度v₁=4m/s，同时方向水平向右的外力F₁=3N作用在金属棒上使金属棒向右做匀减速直线运动，当金属棒运动到位置（Ⅱ）时，外力方向不变，大小变为F₂，金属棒向右做匀速直线运动，经过时间t=2s到达位置（III）．金属棒在位置（I）时，与MN、Q₁Q₂相接触于a、b两点，a、b的间距L₁=1m，金属棒在位置（Ⅱ）时，棒与MN、Q₁Q₂相接触于c、d两点．已知s₁=7.5m．求：
（1）金属棒在位置（I）时安培力的大小和向右匀减速运动时的加速度大小？
（2）从位置（I）到位置（Ⅱ）棒与导轨接触点间距离l随运动时间t变化的函数表达式
（3）金属棒从位置（I）运动到位置（Ⅲ）的过程中，电阻R上放出的热量Q．

Answer 1

分析：（1）根据切割产生的感应电动势公式、闭合电路欧姆定律和安培力公式求出金属棒在在位置（I）时安培力的大小，结合牛顿第二定律求出加速度的大小．
（2）抓住金属棒的加速度不变，结合牛顿第二定律、安培力公式、闭合电路欧姆定律、切割产生的感应电动势求出l与t的关系式．
（3）根据匀变速直线运动的速度位移公式求出金属棒在位置（Ⅱ）速度，从而得出位置（Ⅱ）和位置（Ⅲ）之间的距离，分别求出两段过程中外力做功的大小，结合能量守恒定律求出电阻R上产生的热量．

解答：解：（1）金属棒从位置（I）到位置（Ⅱ）的过程中，加速度不变，方向向左，设大小为a，在位置（I）时，a、b间的感应电动势为E₁，感应电流为I₁，受到的安培力为F_安1，则：
E₁=BL₁v₁，I1=

E1

R

，F安1=BI1L1=

B2L12v1

R

…①
代入数据解得：F_安1=4N…②
根据牛顿第二定律得：F_安1-F₁=ma…③
解得：a=1m/s²…④
（2）设ab的长度为l，在t时刻满足：
F_安-F₁=ma…⑤
F_安=BIL…⑥
IR=BLv…⑦
v=v₁-at…⑧
由⑤⑥⑦⑧解得：l=

4 4-t

…⑨
（3）设金属棒在位置（Ⅱ）速度为v₂，由运动学规律得：v22-v12=-2as1
解得：v₂=1m/s
故位置（Ⅱ）和位置（Ⅲ）之间的距离为：s₂=v₂t=2m．
金属棒从位置（Ⅱ）到位置（Ⅲ）的过程中，做匀速直线运动，感应电动势大小与位置（Ⅱ）时的感应电动势大小相等，安培力与位置（Ⅱ）时的安培力大小相等．
所以F₂=F_安2=4N
设从位置（I）运动到位置（Ⅱ）的过程中，外力做功为W₁，从位置（Ⅱ）到位置（Ⅲ）的过程中，外力做功为W₂
则：W₁=F₁s₁=22.5J
W₂=F₂s₂=8J．
根据能量守恒定律得：Q=W1+W2+

1

2

mv22-

1

2

mv12
代入数据解得：Q=38J．
答：（1）金属棒在位置（I）时安培力的大小和向右匀减速运动时的加速度大小a=1m/s²．
（2）从位置（I）到位置（Ⅱ）棒与导轨接触点间距离l随运动时间t变化的函数表达式l=

4 4-t

．
（3）电阻R上放出的热量Q为38J．

点评：本题考查了电磁感应与电路、力学和能量的综合，综合性较强，对学生的能力要求较高，是高考常考的题型，需加强训练．