Question

10．2016年入夏以来，我国各地洪涝灾害频发，在一次抗洪抢险活动中，解放军某部利用直升机营救一个落水群众．静止在空中的直升机上士兵通过电动机用悬绳将正下方90m处水面的人吊到机舱里．已知人的质量为80kg，吊绳的拉力不能超过1200N，电动机的最大输出功率为12kW．为尽快把人安全救起，士兵采取的办法是：先以吊绳的最大拉力匀加速工作一段时间，达到电动机最大功率后保持该功率继续工作，当人到达机舱时恰好达到最大速度．不计空气和绳子的摩擦阻力．（g取10m/s²）求：
（1）落水群众刚到达机舱时的速度；
（2）做匀加速运动阶段所持续的时间；
（3）将落水群众从水中吊到机舱所用的总时间．

Answer 1

分析 （1）重物先做匀加速直线运动，达到额定功率后，开始做变加速直线运动，当重力和拉力相等时，速度达到最大，结合拉力和功率的大小求出最大速度的大小，即为落水群众刚到达机舱时的速度．
（2）由P=Fv求出匀加速运动的末速度，再根据速度时间公式求出匀加速直线运动的时间．
（3）结合位移时间公式求出匀加速直线运动的位移，再根据动能定理求出变加速运动的时间，从而得出总时间．

解答 解：（1）第一阶段绳以最大拉力拉着落水群众匀加速上升，当电动机达到最大功率时，功率保持不变，落水群众变加速上升，速度增大，拉力减小，当拉力与重力相等时，速度达到最大，
由P_m=Fv_m=mgv_m得落水群众刚到达机舱时的速度为：v_m=$\frac{{P}_{m}}{mg}$=$\frac{12×1{0}^{3}}{800}$m/s=15m/s．       
（2）匀加速结束时的速度为：v₁=$\frac{{P}_{m}}{{F}_{m}}$=$\frac{12×1{0}^{3}}{1200}$m/s=10m/s
根据牛顿第二定律得，匀加速直线运动的加速度为：a=$\frac{{F}_{m}-mg}{m}$=$\frac{1200-800}{80}$m/s²=5m/s²．
设匀加速上升时间为t₁，由v₁=a₁t₁，
解得：t₁=2s  
（3）匀加速上升的高度为：h₁=$\frac{1}{2}$at₁²=$\frac{1}{2}$×5×4m=10m．
变加速上升的高度为：h₂=h-h₁=80m．              
以最大功率变加速上升的过程，由动能定理得：Pt₂-mgh₂=$\frac{1}{2}$mv_m²-$\frac{1}{2}$mv₁²
代入数据解得：t₂=5.75s
 所以吊起落水群众所用总时间为：t=t₁+t₂=7.75s．
答：（1）落水群众刚到达机舱时的速度为15m/s；
（2）做匀加速运动阶段所持续的时间是2s；
（3）将落水群众从水中吊到机舱所用的总时间为7.75s．

点评 解决本题的关键是理清落水群众的运动规律，对于求解变加速运动的时间，不能通过动力学知识求解，因为加速度在变化，抓住功率不变，运用动能定理进行研究．