Question

（2010?河西区二模）如图1所示，上海磁悬浮列车专线西起上海地铁2号线的龙阳路站，东至上海浦东国际机场，专线全长29.863公里．有中德两国合作开发的世界第一条磁悬浮商运线．磁悬浮列车的原理如图2所示．在水平面上，两根平行直导轨间有竖直方向且等间距的匀强磁场B₁、B₂，导轨上有金属框abcd，金属框的面积与每个独立磁场的面积相等．当匀强磁场B₁、B₂同时以速度v沿直线导轨运动．设直线导轨间距为L=0.4m，B₁=B₂=1T，磁场运动速度为v=5m/s，金属框的电阻为R=2Ω．试求：
（1）若金属框不受阻力时，金属框如何运动，
（2）当金属框始终受到f=1N的阻力时，金属框相对与地面的速度是多少：
（3）当金属框始终受到1N的阻力时，要使金属矿维持最大速度，每秒钟需要消耗多少能量？这些能量是谁提供的？

Answer 1

分析：（1）此题的难点在于存在交变磁场．线框运动过程中，acac和bd边都切割磁感线产生的感应电动势，图示位置时产生的感应电动势相同，根据左手定则判断ac、db边所受的安培力方向，即可分析金属框的运动情况．
（2）当金属框受到阻力时，最终做匀速直线运动时，阻力与线框受到的安培力平衡，根据F=BIL，E=BLv_相推导出安培力的表达式，根据平衡条件求出线框与磁场的相对速度v_相，金属框相对于地面的速度为v_地=v₀-v_相．
（3）要使金属框维持最大速度，必须给系统补充能量：一方面，线框内部要产生焦耳热；另一方面，由于受到阻力，摩擦生热．这些能量都是由磁场谁提供．摩擦生热由Q₁=fs=fv_地t求解，焦耳热由焦耳定律求解，即可得到总热量．

解答：解：（1）首先分析ac和bd边产生的感应电动势，由于磁场方向相反，且线圈相对于磁场向左运动，因此，在如图位置的电动势方向相同（逆时针），根据左手定则，ac边和bd边受到的安培力都向右．所以金属框做变加速运动，最终做匀速直线运动．
（2）当金属框受到阻力时，最终做匀速直线运动时，阻力与线框受到的安培力平衡，设此时金属框相对于磁场的速度为v，则
   F=BIL，E=BLv_相，
f=2BIL=2×

2BLv相

R

BL
得v_相=

fR

4B2L2

=

1×2

4×12×0．42

=3.125m/s
所以金属框相对于地面的速度为
  v_地=v₀-v_相=5-3.125=1.875m/s
（3）要使金属框维持最大速度，必须给系统补充能量：一方面，线框内部要产生焦耳热；另一方面，由于受到阻力，摩擦生热．设每秒钟消耗的能量为E，这些能量都是由磁场谁提供．由于摩擦每秒钟产生的热量为Q₁：
  Q₁=fs=fv_地t=1×1.875×1=1.875J
每秒钟内产生的焦耳热为Q₂：
    Q₂=I²Rt=(

2BLv相

R

)2Rt=(

2×0.4×3.125

2

)2×2×1=3.125J
所以Q=Q₁+Q₂=5J
根据能量守恒可知这些能都是由磁场提供的．
答：
（1）若金属框不受阻力时，金属框做变加速运动，最终做匀速直线运动．
（2）当金属框始终受到f=1N的阻力时，金属框相对与地面的速度是1.875m/s．
（3）当金属框始终受到1N的阻力时，要使金属矿维持最大速度，每秒钟需要消耗5J的能量，这些能量是磁场提供的．

点评：本题线框处于交变的磁场中，要抓住ac和bd边都切割磁感线产生感应电动势，都受到安培力作用．应根据磁场与线框的相对速度求感应电动势．