Question

3．如图所示，在xoy平面内第Ⅱ象限有沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E=$\sqrt{3}$×10⁴N/C．y轴右侧有一个边界为圆形的匀强磁场区域，圆心O′位于x轴上，半径为r=0.02m，磁场最左边与y轴相切于O点，磁场方向垂直纸面向里．第Ⅰ象限内与x轴相距为h=2$\sqrt{3}$×10^-2m处，有一平行于x轴长为l=0.04m的屏PQ，其左端P离y轴的距离为0.04m．一比荷为$\frac{q}{m}$=1.0×10⁶C/kg带正电的粒子，从电场中的M点以初速度v₀=1.0×10⁴m/s垂直于电场方向向右射出，粒子恰能通过y轴上的N点．已知M点到y轴的距离为s=0.01m，N点到O点的距离为d=2$\sqrt{3}$×10^-2m，不计粒子的重力．求：
（1）粒子通过N点时的速度大小与方向；
（2）要使粒子打在屏上，则圆形磁场区域内磁感应强度应满足的条件；
（3）若磁场的磁感应强度为B=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$T，且圆形磁场区域可上下移动，则粒子在磁场中运动的最长时间．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，应用类平抛运动规律可以求出粒子的速度．
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求出磁感应强度的临界值，然后确定磁感应强度范围．
（3）求出粒子转过的最大圆心角，然后根据粒子做圆周运动的周期求出粒子的运动时间．

解答 解：（1）设粒子通过N点时的速度为v，速度与竖直方向的夹角为θ，
粒子进入电场后做类平抛运动，
水平方向：s=v₀t，
竖直方向：v_y=at，
速度：$v=\sqrt{v_0^2+v_y^2}$，$tanθ=\frac{v_0}{v_y}$，
由牛顿第二定律有：qE=ma，
代入数据解得：v=2×10⁴m/s，θ=30°；
（2）粒子通过N点后将沿半径方向进入圆形磁场区域．
粒子垂直进入磁场做匀速圆周运动有：$qBv=m\frac{v^2}{R}$，
粒子刚好打在P点时，磁感应强度最强设为B₁，此时粒子的轨迹半径为R₁
由几何关系有：R₁=rtanθ，代入数据解得：${B_1}=\sqrt{3}T$，
粒子刚好打在Q点时，磁感应强度最弱设为B₂，此时粒子的轨迹半径为R₂
由几何关系有：R₂=r，代入数据解得：B₂=1T，
综合得粒子要打在屏上磁感应强度满足：$1T≤B≤\sqrt{3}T$；
（3）粒子的轨迹半径为：${R_3}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}×{10^{-2}}$m，
设粒子在磁场中做圆周运动的圆心角为α，弦长为l'，
由几何关系有：${R_3}sin\frac{α}{2}=\frac{l'}{2}$，
要使粒子在磁场中运动的时间最长，
则l'=2r，解得：$α=\frac{2π}{3}$，
设粒子在磁场中运动的周期为T有：
$T=\frac{{2π{R_3}}}{v}=\frac{{4π\sqrt{3}}}{3}×{10^{-6}}$s，
粒子在磁场中运动的最长时间为：
$t=\frac{α}{2π}T=\frac{{4π\sqrt{3}}}{9}×{10^{-6}}$s；
答：（1）粒子通过N点时的速度大小为2×10⁴m/s，与竖直方向夹角为：30°；
（2）要使粒子打在屏上，则圆形磁场区域内磁感应强度应满足的条件是：$1T≤B≤\sqrt{3}T$；
（3）粒子在磁场中运动的最长时间为$\frac{4π\sqrt{3}}{9}$×10^-6s．

点评 本题考查粒子在电场中类平抛运动和在磁场中的匀速圆周运动，对学生几何能力要求较高，能够找出问题的临界情况是解决本题的关键．