Question

18．如图所示的坐标系中，x轴水平，y轴竖直，x轴上方空间只存在重力场，第Ⅲ象限存在沿y轴正方向的匀强电场和垂直xy平面向里的匀强磁场，在第Ⅳ象限有沿x轴负方向的匀强电场，场强与第Ⅲ象限存在的电场的场强大小相等．一质量为m，带电量为q的小球a，从轴上点P₁（0，h）以一定的水平速度沿轴负方向抛出，它经过点P₂（-2h，0）进入第Ⅲ象限，恰好做匀速圆周运动，又经过y轴上的点P₃ （0，-2h）进入第Ⅳ象限，试求：
（1）小球到达点P₂时速度的大小和方向；
（2）第Ⅲ象限中电场强度E和磁感应强度B的大小；
（3）质点进入第Ⅳ象限且速度减为零时的位置坐标．

Answer 1

分析 （1）带电粒子先做平抛运动，将运动分解成水平方向匀速直线运动与竖直方向自由落体运动，从而求出粒子到达P₂点时速度的大小和方向；
（2）当带电粒子进入电场、磁场与重力场中时，重力与电场力相平衡，洛伦兹力提供向心力使其做匀速圆周运动，由平衡可得出电场强度大小，再几何关系可求出磁感应强度大小．
（3）分析带电粒子的受力情况，结合运动学公式与牛顿第二定律，即可求解．

解答 解：粒子运动轨迹如图所示；
（1）质点在第Ⅱ象限中做平抛运动，设初速度为v₀，
h=$\frac{1}{2}$gt²，2h=v₀t，解得：v₀=$\sqrt{2gh}$，
在P₂点，速度v的竖直分量为：v_y=gt=$\sqrt{2gh}$，
所以：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=2$\sqrt{gh}$，其方向与x轴负向夹角θ=45°
（2）带电粒子进入第Ⅲ象限做匀速圆周运动，
必有：mg=qE，解得：E=$\frac{mg}{q}$；                        
又恰能过负y轴2h处，故$\overline{{P}_{2}{P}_{3}}$为圆的直径，转动半径为：
R=$\frac{\sqrt{2}\overline{O{P}_{2}}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}×2h}{2}$=$\sqrt{2}$h，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：B=$\frac{m}{q}$$\sqrt{\frac{2g}{h}}$；
（3）带电粒以大小为v，方向与x轴正向夹45°角进入第Ⅳ象限，
所受电场力与重力的合力为：$\sqrt{2}$mg，方向与过P₃点的速度方向相反，
故带电粒做匀减速直线运动，设其加速度大小为a，
由牛顿第二定律得：a=$\frac{\sqrt{2}mg}{m}$=$\sqrt{2}$g，
由匀变速直线运动的速度位移公式得：
0²-v²=-2as，解得：s=$\sqrt{2}$h，
由此得出速度减为0时的位置坐标是（h，-h）
答：（1）质点a到达P₂点时速度的大小2$\sqrt{gh}$，和方向与x轴负向夹角θ=45°；
（2）第Ⅲ象限中匀强电场的电场强度$\frac{mg}{q}$和匀强磁场的磁感应强度的大小为$\frac{m}{q}$$\sqrt{\frac{2g}{h}}$；
（3）质点a进入第Ⅳ象限且速度减为零时的位置坐标（h，-h）．

点评 本题考查带电粒子在场中三种运动模型：匀速圆周运动、平抛运动和匀减速直线运动，考查综合分析能力，以及空间想像的能力，应用数学知识解决物理问题的能力．