Question

【题目】如图所示，长木板Ａ右边固定着一个挡板，包括挡板在内的总质量为1．5Ｍ，静止在光滑的水平地面上．小木块Ｂ质量为Ｍ，从Ａ的左端开始以初速度ｖ０在Ａ上滑动，滑到右端与挡板发生碰撞，已知碰撞过程时间极短，碰后木块Ｂ恰好滑到Ａ的左端就停止滑动．已知Ｂ与Ａ间的动摩擦因数为μ，Ｂ在Ａ板上单程滑行长度为ｌ．求：

（1）若μｌ＝3ｖ０２／160ｇ，在Ｂ与挡板碰撞后的运动过程中，摩擦力对木板Ａ做正功还是负功?做多少功?
（2）讨论Ａ和Ｂ在整个运动过程中，是否有可能在某一段时间里运动方向是向左的．如果不可能，说明理由；如果可能，求出发生这种情况的条件．

Answer 1

【答案】（1）0.068Ｍｖ０2（2）2ｖ０2／15ｇ＜μｌ≤3ｖ０2／20ｇ

【解析】（1）Ｂ与Ａ碰撞后，Ｂ相对于Ａ向左运动，Ａ所受摩擦力方向向左，Ａ的运动方向向右，故摩擦力作负功．设Ｂ与Ａ碰撞后的瞬间Ａ的速度为ｖ１，Ｂ的速度为ｖ２，Ａ、Ｂ相对静止后的共同速度为ｖ，整个过程中Ａ、Ｂ组成的系统动量守恒，有

Ｍｖ０＝（Ｍ＋1.5Ｍ）ｖ

解得：ｖ＝2ｖ０／5．

碰撞后直至相对静止的过程中，系统动量守恒，机械能的减少量等于系统克服摩擦力做的功，即Ｍｖ２＋1．5Ｍｖ１＝2.5Ｍｖ①

×1．5Ｍｖ１2＋Ｍｖ２2－×2．5Ｍｖ2＝Ｍμｌｇ，②

可解出ｖ１＝ｖ０（另一解ｖ１＝ｖ０因小于ｖ而舍去）

这段过程中，Ａ克服摩擦力做功

Ｗ＝×1．5Ｍｖ１2－×1．5Ｍｖ2＝Ｍｖ０2（0.068Ｍｖ０2）．

（2）Ａ在运动过程中不可能向左运动，因为在Ｂ未与Ａ碰撞之前，Ａ受到的摩擦力方向向右，做加速运动，碰撞之后Ａ受到的摩擦力方向向左，做减速运动，直到最后，速度仍向右，因此不可能向左运动．

Ｂ在碰撞之后，有可能向左运动，即ｖ２＜0．先计算当ｖ２＝0时满足的条件，由①式，得

ｖ１＝（2ｖ０／3）－（2ｖ２／3），

当ｖ２＝0时，ｖ１＝2ｖ０／3，代入②式，

得（×1.5Ｍ×）－（×2.5Ｍ×）＝Ｍμｇl

解得μｌｇ＝

Ｂ在某段时间内向左运动的条件之一是μｌ＜

另一方面，整个过程中损失的机械能一定大于或等于系统克服摩擦力做的功，即

Ｍｖ０2－2．5Ｍ（）2≥2Ｍμｌｇ，

解出另一个条件是

最后得出Ｂ在某段时间内向左运动的条件是．