Question

5．一段铁路转弯处，内外轨道高度差为h，弯道半径为r，轨距l，求这段弯道的设计速度v₀是多大？并讨论当火车速度大于或小于V₀时内外轨的侧压力（重力加速度为g）

Answer 1

分析 火车拐弯时以规定速度行驶，此时火车的重力和支持力的合力提供圆周运动所需的向心力．若速度大于规定速度，重力和支持力的合力不够提供，此时外轨对火车有侧压力；若速度小于规定速度，重力和支持力的合力提供偏大，此时内轨对火车有侧压力．根据牛顿第二定律求出规定速度．

解答 解：转弯中，当内外轨对车轮均没有侧向压力时，火车的受力如图

由牛顿第二定律得mgtanα=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
因为α很小，有tanα=sina=$\frac{h}{l}$
则v=$\sqrt{\frac{gRh}{l}}$
故火车过弯道时的速度是$\sqrt{\frac{gRh}{l}}$；
当转弯的实际速度大于规定速度v₀时，火车所受的重力和支持力的合力不足以提供所需的向心力，火车有离心趋势，故其外侧车轮轮缘会与铁轨相互挤压，外轨受到侧压力作用方向平行轨道平面向外；当转弯的实际速度小于规定速度v₀时，火车所受的重力和支持力的合力大于所需的向心力，火车有向心趋势，故其内侧车轮轮缘会与铁轨相互挤压，内轨受到侧压力作用方向平行轨道平面向内．
答：设计速度v₀为$\sqrt{\frac{gRh}{l}}$，火车大于该速度通过时对外轨有挤压，火车速度小于该速度通过时对内轨有挤压．

点评 解决本题的关键知道火车拐弯时对内外轨均无压力，此时靠重力和支持力的合力提供圆周运动的向心力，不以规定速度通过时，根据离心运动和向心运动的条件进行分析．