Question

1．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，第I象限内有沿y轴负向的匀强电场，电场强度的大小为E，第Ⅳ象限内有垂直纸面向外的匀强磁场．在y轴上的P点沿x轴正向发射质量为m、电荷量为q的带正电粒子，粒子从x轴上Q点射人磁场．已知Q点坐标为（L，0）．不计粒子的重力及相互间作用．
（1）若粒子在Q点的速度方向与x轴成30°角．求P点的坐标及粒子在Q点的速度大小：
（2）若从y轴的正半轴上各点处均向x轴正向发射与（1）中相同的粒子，结果这些粒子均能从x轴上的Q点进入磁场，并且到Q点速度最小的粒子A，经磁场偏转后．恰好垂直y轴射出磁场，求匀强磁场的磁感应强度大小及粒子A在磁场中运动的时间．

Answer 1

分析 （1）粒子从P到Q是类似平抛运动，根据分运动公式列式求解即可；
（2）对类似平抛运动，根据分运动公式求解出末速度表达式讨论最小速度大小和对应的抛出点坐标；
粒子在磁场中做匀速圆周运动，画出运动的轨迹，结合几何关系得到轨道半径；然后根据牛顿第二定律列式求解磁感应强度，根据公式t=$\frac{s}{v}$求解运动时间．

解答 解：（1）粒子从P到Q过程，根据分运动公式，有：
v_x=v₀    v_y=at   $tan30°=\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$
L=v₀t    y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
其中：a=$\frac{qE}{m}$
联立解得：
y=$\frac{\sqrt{3}}{6}L$ 
t=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}mL}{3qE}}$
v_x=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}qEL}{m}}$
v_y=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}qEL}{3m}}$
故v=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=2$\sqrt{\frac{\sqrt{3}qEL}{3m}}$
（2）设P点的纵坐标为y，则：
对竖直分运动，有：y=$\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}•{t}^{2}$ 
对水平分运动，有：L=v_xt
Q点的合速度：v=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+（at）^{2}}$=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{（\frac{qE}{m}•t）}^{2}}$
联立解得：v=$\sqrt{\frac{qE}{m}（\frac{{L}^{2}}{2y}+2y）}$
其中：$\frac{{L}^{2}}{2y}+2y≥2\sqrt{\frac{{L}^{2}}{2y}}\sqrt{2y}=2L$（当$\frac{L^2}{2y}=2y$，即$y=\frac{1}{2}L$时取等号）
故当y=$\frac{L}{2}$时，v最小，为$\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$；
类平抛运动中速度偏转角的正切值是位移偏转角的正切值的2倍，故在Q点的速度偏转角的正切值为：
tanα=2×$\frac{\frac{1}{2}L}{L}$=1
故α=45°
粒子进入磁场后做匀速圆周运动，轨迹如图所示：

故对应的圆心角为θ=$\frac{3}{4}π$；
结合几何关系，有：r=$\frac{L}{sin45°}$=$\sqrt{2}L$
故粒子在磁场中的运动时间为：t=$\frac{rθ}{v}$=$\frac{{\sqrt{2}L•\frac{3}{4}π}}{{\sqrt{\frac{2qEL}{m}}}}=\frac{3}{4}\sqrt{2}π\sqrt{\frac{mL}{2qE}}$
根据牛顿第二定律，有：$qvB=m\frac{v^2}{r}$
解得：B=$\sqrt{\frac{Em}{qL}}$
答：（1）P点的坐标为（0，$\frac{\sqrt{3}}{6}L$），粒子在Q点的速度大小为2$\sqrt{\frac{\sqrt{3}qEL}{3m}}$；
（2）匀强磁场的磁感应强度大小为$\sqrt{\frac{Em}{qL}}$，粒子A在磁场中运动的时间为$\frac{3}{4}\sqrt{2}π\sqrt{\frac{mL}{2qE}}$．

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，粒子在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，对于第二问，关键是根据类似平抛运动规律求解出速度表达式，运用数学不等式的知识确定最小速度的大小与方向，同时要结合牛顿第二定律、几何关系列式分析，不难．