Question

3．一客车从静止开始以加速度a做匀加速直线运动的同时，在车尾的后面离车头x远的地方有一乘客以某一恒定速度v正在追赶这辆客车，已知司机从车头反光镜内能看到离车头的最远距离为x₀（即人离车头距离超过x₀，司机不能从反光镜中看到该人），同时司机从反光镜中看到该人的像必须持续时间在t₀内才能注意到该人，这样才能制动客车使车停下来，该乘客要想乘坐上这辆客车，追赶客车匀速运动的速度v，求：
（1）乘客的速度v所满足的条件（用题中的字母表示）；
（2）若a=1.0m/s²，x=30m，x₀=20m，t₀=4.0s，求v的最小值．

Answer 1

分析 设乘客经过t时间与客车车头的位移为s₀，通过位移关系求出运动的时间，时间有两个值，在这两个时间之间，乘客与客车车头的位移小于s₀，则两个时间之差要保证大于等于t₀，根据该关系求出乘客速度的最小值

解答 解：（1）从客车由静止开始运动计时，经过时间t，则
客车前进x₁=$\frac{1}{2}$at²
乘客前进x₂=vt
由题意x₁+x-x₂=x₀
整理得$\frac{1}{2}$at²+x-vt-x₀=0
解得：t=$\frac{{v±\sqrt{{v^2}-2a（x-{x_0}）}}}{a}$
即：t₁=$\frac{{v-\sqrt{{v^2}-2a（x-{x_0}）}}}{a}$，
t₂=$\frac{{v+\sqrt{{v^2}-2a（x-{x_0}）}}}{a}$
因司机看到乘客的像必须持续t₀时间才能注意到乘客，所以t₂-t₁≥t₀
即：t=t₂-t₁=$\frac{{v+\sqrt{{v^2}-2a（x-{x_0}）}}}{a}$-$\frac{{v-\sqrt{{v^2}-2a（x-{x_0}）}}}{a}$=$\frac{{2\sqrt{{v^2}-2a（x-{x_0}）}}}{a}$≥t₀
所以  v≥$\sqrt{2a（x-{x_0}）+\frac{1}{4}{{（a{t_0}）}^2}}$
（2）代入数值得：v≥$\sqrt{2×1.0×（30-20）+\frac{1}{4}×{{（1.0×4.0）}^2}}$m/s=2$\sqrt{6}$ m/s=4.9 m/s
所以乘客追赶客车的最小速度为4.9 m/s．
答：（1）乘客的速度v所满足的条件为v≥$\sqrt{2a（x-{x_0}）+\frac{1}{4}{{（a{t_0}）}^2}}$
（2）若a=1.0m/s²，x=30m，x₀=20m，t₀=4.0s，v的最小值为4.9m/s

点评 该题属于运动学中的较难题，关键抓住乘客经过时间t与客车车头的位移为s₀，还要注意乘客与客车车头位移在s₀之内的时间差大于等于t₀