Question

2．如图所示，AB、CD为固定在水平面上的光滑圆弧轨道，半径R=9m，分别与水平轨道相切于B、C两点，KA平台的高度为h=3.2m．先让小物块甲以v₁=$\sqrt{80}$m/s的初速度从A点沿AB轨道下滑，当小物块甲经过B点0.6s后，让小物块乙以一定的初速度v₂=16m/s从B点沿BC轨道向右滑行，甲、乙两物块与水平轨道BC间的动摩擦因数分别为μ_甲=0.15、μ_乙=0.64，甲物块质量m_甲=1kg，甲物块经过C点时受到的支持力大小为F_N=19N，取g=10m/s²．求：

（1）甲物块滑到C点时的速率；
（2）水平轨道BC的长度；
（3）甲、乙两物块在水平轨道BC上运动时两物块间的最小距离．

Answer 1

分析 （1）根据在C点轨道对甲物块的支持力，结合牛顿第二定律求出甲物块滑到C点的速率；
（2）根据机械能守恒定律求出甲物块到达B点的速度，对B到C的过程运用动能定理，求出水平轨道BC的长度；
（3）根据牛顿第二定律分别求出甲乙两物块做匀减速直线运动的加速度大小，抓住速度相等时，相距最近，结合运动学公式求出最小距离．

解答 解：（1）在C点，甲物块做圆周运动，设甲物块滑到C点时的速率为v_C，在C点，轨道对甲物块的支持力F_N=19 N
则：${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$         
代入数据解得：v_C=9 m/s          
（2）对甲物块，设下滑到B点速度为v_B，由机械能守恒定律有：
mgh+$\frac{1}{2}$mv₁²=$\frac{1}{2}$mv_B²             
代入数据解得：v_B=12 m/s   
设水平轨道BC长度为L，甲物块从B到C的过程由动能定理有：
-μ_甲m_甲gL=$\frac{1}{2}$m_甲v_C²-$\frac{1}{2}$m_甲v_B²      
代入数据解得：L=21 m      
（3）甲、乙两物块在水平轨道BC上，均做匀减速直线运动，设加速度分别为a_甲、a_乙，根据牛顿第二定律有：
a_甲=-$\frac{{μ}_{甲}{m}_{甲}g}{{m}_{甲}}$=-μ_甲g=-1.5 m/s²
a_乙=-$\frac{{μ}_{乙}{m}_{乙}g}{{m}_{乙}}$=-μ_乙g=-6.4 m/s²
设乙物块滑入水平轨道BC时间t后与甲物块速度相等，设为v，则：
v₂+a_乙 t=v_B+a_甲（t+0.6）=v    
代入数据解得：t=1 s     v=9.6 m/s          
即乙物块滑入水平轨道1 s后甲、乙两物块速度相等（v=9.6 m/s），这时它们在水平轨道BC上的距离最小，根据匀变速运动的位移公式得：
x_甲=$\frac{1}{2}$（v_B+v）（t+0.6）
代入数据，得：x_甲=（12+9.6）×1.6×$\frac{1}{2}$=17.28（m）
x_乙=$\frac{1}{2}$（v₂+v）t
代入数据，得：x_乙=（16+9.6）×$\frac{1}{2}$=12.8（m）
甲、乙两物块在水平轨道BC上的最小距离：
△x=x_甲-x_乙=17.28 m-12.8 m=4.48 m
答：（1）甲物块滑到C点时的速率为9m/s；
（2）水平轨道BC的长度为21m；
（3）甲、乙两物块在水平轨道BC上运动时两物块间的最小距离为4.48m．

点评 本题考查了动能定理、机械能守恒、牛顿第二定律、运动学公式的综合运用，对于第三问，要知道两者速度相等时相距最近，结合牛顿第二定律和运动学公式综合求解．