Question

如图所示．ABC为光滑轨道，其中AB段水平放置，BC段为半径R的圆弧，AB与BC相切于B点．A处有一竖直墙面，一轻弹簧的一端固定于墙上，另一端与一质量为M的物块相连接．当弹簧处于原长状态时．物块恰能与固定在墙上的L形挡板相接触于B处但无挤压．现使一质量为m，的小球从圆弧轨道上距水平轨道高h处的D点由静止开始下滑．小球与物块相碰后立即共速但不粘连．物块与L形挡板相碰后速度立即减为零也不粘连．（整个过程中．弹簧没有超过弹性限度，小球与L型挡板不接触．不计空气阻力，重力加速度为g）
（1）试求弹簧获得的最大弹性势能；
（2）求小球与物块第一次碰后沿BC上升的最大高度；
（3）若R＞＞h．每次从小球接触物块至物块撞击L形挡板历时均为△t．则小球由D点出发经多长时间第三次通过B点？

Answer 1

分析：（1）球从D下滑到B与物块碰前，小球机械能守恒定律列式，碰撞过程，小球与滑块系统动量守恒，根据动量守恒定律列式，碰后弹簧压缩到最大程度的过程中，M、m和弹簧的系统机械能守恒，联立方程即可求解；
（2）第一次碰后，小球返回B点的速度仍为v₁，设从B向C滑动的最大高度为h₁，根据机械能守恒即可求解；
（3）R当R＞＞h，小球在BC上的运动可等效为单摆，其周期为T=2π

R g

，进而求出小球第三次通过B点经过的时间．

解答：解：（1）球从D下滑到B与物块碰前，小球机械能守恒，有mgh=

1

2

mv02
碰撞过程，小球与滑块系统动量守恒mv₀=（m+M）v₁
碰后弹簧压缩到最大程度的过程中，M、m和弹簧的系统机械能守恒EP=

1

2

(M+m)v12
解得：EP=

m2gh

m+M

（2）第一次碰后，小球返回B点的速度仍为v₁，设从B向C滑动的最大高度为h₁，有mgh1=

1

2

mv12
解得：h1=

m2

(m+M)2

h
（3）R＞＞h，小球在BC上的运动可等效为单摆，其周期为T=2π

R g

   
分析知小球第三次通过B点经过的时间为t=

3

4

T+△t=

3

2

π

R g

+△t
答：（1）弹簧获得的最大弹性势能为

m2gh

m+M

；
（2）小球与物块第一次碰后沿BC上升的最大高度为

m2

(m+M)2

h；
（3）若R＞＞h．每次从小球接触物块至物块撞击L形挡板历时均为△t．则小球由D点出发经

3

2

π

R g

+△t时间第三次通过B点．

点评：本题主要考查了机械能守恒定律、动量守恒定律的直接应用，知道当R＞＞h，小球在BC上的运动可等效为单摆，难度适中．