Question

19．如图1所示，两根足够长的平行金属导轨MN、PQ相距为L，导轨平面与水平面夹角为α，金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为m，导轨处于匀强磁场中，磁场的方向垂直于导轨平面斜向上，磁感应强度大小为B，金属导轨的上端与开关S、定值电阻R₁和电阻箱R₂相连．不计一切摩擦，不计导轨、金属棒的电阻，重力加速度为g，现闭合开关S，将金属棒由静止释放．

（1）判断金属棒ab中电流的方向；
（2）若电阻箱R₂接入电路的阻值为R₂=2R₁，当金属棒下降高度为h时，速度为v，求此过程中定值电阻R₁上产生的焦耳热Q₁；
（3）当B=0.40T，L=0.50m，α=37°时，金属棒能达到的最大速度v_m随电阻箱R₂阻值的变化关系如图2所示．取g=10m/s²，sin37°=0.60，cos37°=0.80．求定值电阻的阻值R₁和金属棒的质量m．

Answer 1

分析 （1）金属棒由静止释放沿导轨向下运动切割磁感线，根据右手定制判断感应电流的方向；
（2）以金属棒为研究对象，根据动能定律可正确解答；
（3）当金属棒的速度达到最大时，有mgsinα=BIL成立，由此写出最大速度v_m和电阻R₂的函数关系，根据斜率、截距的物理意义即可正确解答．

解答 解：（1）由右手定则，金属棒ab中的电流方向为b到a
（2）由能量守恒，金属棒减小的重力势能等于增加的动能和电路中产生的焦耳热$mgh=\frac{1}{2}m{v^2}+Q$
解得：$Q=mgh-\frac{1}{2}m{v^2}{Q_1}=\frac{1}{3}mgh-\frac{1}{6}m{v^2}$
（3）设最大速度为v，切割磁感线产生的感应电动势E=BLv
由闭合电路的欧姆定律：$I=\frac{E}{{{R_1}+{R_2}}}$
从b端向a端看，金属棒受力如图：
金属棒达到最大速度时满足mgsinα-BIL=0
由以上三式得：$v=\frac{mgsinα}{{{B^2}{L^2}}}{R_2}+\frac{mgsinα}{{{B^2}{L^2}}}{R_1}$
由图象可知：斜率为$k=\frac{60-30}{2}m/s•Ω=15m/s•Ω$，纵截距为v₀=30m/s，得到：$\frac{mgsinα}{{{B^2}{L^2}}}{R_1}={v_0}$，$\frac{mgsinα}{{{B^2}{L^2}}}=k$
解得：R₁=2.0Ω    m=0.1kg
答：（1）金属棒ab中电流的方向为b到a；
（2）此过程中定值电阻R₁上产生的焦耳热Q₁为$\frac{1}{3}mgh-\frac{1}{6}m{v}^{2}$
（3）定值电阻的阻值R₁和金属棒的质量m分别为2.0Ω和0.1kg

点评 电磁感应问题经常与电路、受力分析、功能关系等知识相结合，是高中知识的重点，该题中难点是第三问，关键是根据物理规律写出两坐标物理量之间 的函数关系．