Question

8．如图所示，物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧，其中轻弹簧的劲度系数为k，物体A、B的质量都为m，开始时细绳伸直，用手托着物体A使弹簧处于原长且A与地面的距离为h，物体B静止在地面上，放手后物体A下落，与地面即将接触时速度恰好为零，已知弹性势能E_p与弹簧的形变量x之间的关系为E_p=$\frac{1}{2}$kx²，求：
（1）物体B刚要离地时物体A距地面的高度；
（2）物体B刚要离地时物体A的速度大小；
（3）在此过程中物体B的最大加速度．

Answer 1

分析 （1）物体B刚要离地时，弹簧对B的弹力等于B的重力，根据胡克定律求出弹簧的伸长量，开始弹簧处于原长，弹簧的伸长量等于A下落的高度，从而求出物体A距地面的高度；
（2）AB组成的系统，只有重力和弹簧弹力做功，系统机械能守恒求解；
（3）B离开地面后，A做减速运动，B做加速运动，而A到达地面时速度刚好减为零，则此时弹簧伸长量最大，弹力最大，根据动能定理结合牛顿第二定律求解即可．

解答 解：（1）物体B刚要离地时，弹簧对B的弹力等于B的重力，根据胡克定律得：
mg=kx₁，
解得：${x}_{1}=\frac{mg}{k}$，
开始弹簧处于原长，则物体B刚要离地时物体A下落的距离为：${{x}_{2}=x}_{1}=\frac{mg}{k}$，
则A距地面的高度为：$h′=h-{x}_{2}=h-\frac{mg}{k}$，
（2）AB组成的系统，只有重力和弹簧弹力做功，系统机械能守恒，则有：
mgx₂=$\frac{1}{2}k{{x}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：v=$\sqrt{\frac{2m{g}^{2}}{k}-\frac{m{g}^{2}}{{k}^{2}}}$
（3）A从静止释放到到达地面的过程中，根据动能定理得：
mgh-W_弹=0-0
解得：W_弹=mgh
则此时弹簧的弹性势能为mgh，则有：mgh=$\frac{1}{2}k{{x}_{3}}^{2}$
解得：此时的弹力为：F=kx₃=$\sqrt{2kmgh}$，
当A落地时B的加速度最大，根据牛顿第二定律得：B的最大加速度为：
a=$\frac{F-mg}{m}=\frac{\sqrt{2kmgh}}{m}-g$
答：（1）物体B刚要离地时物体A距地面的高度为$h-\frac{mg}{k}$；
（2）物体B刚要离地时物体A的速度大小为$\sqrt{\frac{2m{g}^{2}}{k}-\frac{m{g}^{2}}{{k}^{2}}}$；
（3）在此过程中物体B的最大加速度为$\frac{\sqrt{2kmgh}}{m}-g$．

点评 本题主要考查了动能定理、机械能守恒以及牛顿第二定律的直接应用，要求同学们能正确对物体受力分析，知道AB组成的系统，只有重力和弹簧弹力做功，系统机械能守恒，明确AB的运动状态，知道A到达地面时速度刚好减为零，此时弹簧伸长量最大，弹力最大．