Question

13．如图所示，摩托车做腾跃特技表演，沿曲面冲上高0.8m的顶部水平高台，接着以v=3m/s的水平速度离开平台，落至地面时，恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点切入光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道下滑．A、B为圆弧两端点，其连线水平．已知圆弧半径为R=1.0m，人和车的总质量为200kg，特技表演的全过程中，阻力忽略不计．（计算中取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6）．求：

（1）从平台飞出到A点，人和车运动的水平距离s．
（2）从平台飞出到达A点时速度．
（3）圆弧对应圆心角θ．
（4）已知人和车运动到圆弧轨道最低点O时，速度v′为$\sqrt{33}$m/s，求此时人和车对轨道的压力的大小．

Answer 1

分析 （1）根据高度求出平抛运动的时间，结合初速度和时间求出水平距离．
（2）根据速度时间公式求出A点的竖直分速度，结合平行四边形定则求出A点的速度．
（3）根据平行四边形定则求出落地速度方向与水平方向的夹角，结合几何关系求出圆弧对应的圆心角．
（4）根据牛顿第二定律求出轨道对人和车的支持力，从而得出人和车对轨道的压力大小．

解答 解：（1）由$H=\frac{1}{2}g{{t}_{2}}^{2}$，s=vt₂可得：${t}_{2}=\sqrt{\frac{2H}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}s=0.4s$
s=$v\sqrt{\frac{2H}{g}}=3×\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}m=1.2m$．
（2）摩托车落至A点时，其竖直方向的分速度v_y=gt₂=10×0.4m/s=4m/s
到达A点时速度 ${v}_{A}=\sqrt{{v}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\sqrt{9+16}m/s=5m/s$．
（3）设摩托车落地时速度方向与水平方向的夹角为α，则
$tanα=\frac{{v}_{y}}{v}=\frac{4}{3}$，即α=53°
所以θ=2α=106°
（4）在0点：$N-mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$    
代入数据解得N=8600N
由牛顿第三定律可知，人和车在最低点O时对轨道的压力为8600N．
答：（1）从平台飞出到A点，人和车运动的水平距离s为1.2m．
（2）从平台飞出到达A点时速度为5m/s．
（3）圆弧对应圆心角θ为106°．
（4）此时人和车对轨道的压力的大小为8600N．

点评 本题考查了平抛运动和圆周运动的基本运用，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律以及圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．