Question

如图，A为一颗行星，它绕恒星B运行的轨道半径为R₀、周期为T₀，已知引力常量为G．
（1）恒星B的质量为多大？
（2）其实，A和B是一个双星系统，它们在彼此间万有引力作用下，围绕A、B连线上的一点做周期相同的圆周运动．如果A的质量为m，B的质量为M，A、B之间的距离始终保持为R₀，试求B做圆周运动的半径，并分析B能被看成保持静止的条件．

Answer 1

分析：（1）根据万有引力提供向心力，求出恒星B的质量．
（2）双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，抓住角速度相等，万有引力大小相等，得出B轨道半径的大小，通过表达式分析B能被看成保持静止的条件．

解答：解：（1）设中央恒星质量为M，行星A质量为m．
根据万有引力提供向心力得，G

Mm

R02

=mR₀ω²　　
ω=

2π

T0

解得恒星B的质量M=

4π2R03

GT02

（2）R₀=R_A+R_B　　
G

mM

R02

=mR_Aω²　　
G

mM

R02

=MR_Bω²　　
∴R_B=

m

M+m

R₀　　
当M＞＞m时，R_B=0，位置不发生改变，可以被看作保持静止．
答：（1）恒星B的质量为

4π2R03

GT02

．
（2）B做圆周运动的半径R_B=

m

M+m

R₀，当M＞＞m时，R_B=0，位置不发生改变，可以被看作保持静止．

点评：本题考查了万有引力提供向心力这一理论，知道双星系统角速度相等，靠相互间的万有引力提供向心力．