Question

9．如图所示，光滑水平面右端B处连接一个竖直的半径为R的光滑半圆轨道，B点为水平面与轨道的切点，在离B距离为x的A点，用水平恒力将质量为m的质点从静止开始推到B处后撤去恒力，质点沿半圆轨道运动到C处后又正好落回A点．试求：
（1）质点运动到C处时的速度大小．
（2）推力对小球所做的功．
（3）x取何值时，完成上述运动推力所做的功最小？最小功为多少．

Answer 1

分析 （1）小球在恒定推力作用下，在光滑水平面做匀加速直线，当到达B点撤去恒力，让其在沿光滑半圆轨道运动到C处后，又正好落回A点．因小球离开C点后做平抛运动，已知高度与水平位移的情况下，可求出小球在C处的速度大小；
（2）选取从A到C过程，由动能定理可求出推力对小球所做的功．
（3）力F做功越小，小球到达B点的速度越小，到达最高点C的速度越小，当小球恰好到达C点时，由重力充当向心力，此时C点的速度最小，力F做功最小．先由牛顿第二定律求出小球通过C点的最小速度，然后求出最小功．

解答 解：（1）质点从半圆弧轨道做平抛运动又回到A点，设质点在C点的速度为v_C，
质点从C点运动到A点所用的时间为t，则
在水平方向：x=v_Ct     ①
竖直方向上：2R=$\frac{1}{2}$gt² ②
解①②有：v_C=$\frac{x}{2}$$\sqrt{\frac{g}{R}}$  ③
（2）对质点从A到C，由动能定理有：W_F-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv_C²-0  ④
解得：W_F=$\frac{mg（16{R}^{2}+{x}^{2}）}{8R}$     ⑤
（3）要使F力做功最少，确定x的取值，由④式得 W_F=mg•2R+$\frac{1}{2}$mv_C²-0，
则知，只要质点在C点速度最小，则功W_F就最小．
若质点恰好能通过C点，其在C点最小速度为v，
由牛顿第二定律有：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：v=$\sqrt{gR}$  ⑥
由③⑥有$\frac{x}{2}$$\sqrt{\frac{g}{R}}$=$\sqrt{gR}$，解得x=2R时，W_F最小，最小的功W_F=mg•2R++$\frac{1}{2}$mv_C²=$\frac{5}{2}$mgR．    
答：（1）质点运动到C处时的速度大小为$\frac{x}{2}$$\sqrt{\frac{g}{R}}$．
（2）推力对小球所做的功为$\frac{mg（16{R}^{2}+{x}^{2}）}{8R}$．
（3）x=2R时，完成上述运动推力所做的功最小，最小功为$\frac{5}{2}$mgR．

点评 本题要挖掘隐含的临界条件：小球通过C点的最小速度为$\sqrt{gR}$，由动能定理求解F做功，再运用数学不等式知识求解极值．