Question

如图所示，水平导轨间距为L左端接有阻值为R的定值电阻，在距左端x₀处放置一根质量为m、电阻为r的导体棒，导体棒与导轨间无摩擦且始终保持良好接触，导轨的电阻可忽略，整个装置处在竖直向上的匀强磁场中，问：在下列各种情况下，作用在导体棒上的水平拉力F的大小应如何？
（1）磁感应强度为B=B₀保持恒定，导体棒以速度v向右做匀速直线运动；
（2）磁感应强度为B=B₀+kt随时间t均匀增强，导体棒保持静止；
（3）磁感应强度为B=B₀保持恒定，导体棒由静止始以加速度a向右做匀加速直线运动；
（4）磁感应强度为B=B₀+kt随时间t均匀增强，导体棒以速度v向右做匀速直线运动．

Answer 1

分析：（1）导体棒切割磁感线运动产生感应电动势和感应电流，根据闭合电路欧姆定律求出感应电流，导体棒在磁场中会受到安培力，当拉力与安培力相等时，导体棒做匀速直线运动．求安培力，即可得到拉力．
（2）导体棒保持静止，磁感应强度为B=B_o+kt随时间t均匀增强，产生感应电动势和感应电流，根据法拉第定律和欧姆定律结合求出感应电流，导体棒受拉力和安培力处于平衡．再由平衡条件求得拉力．
（3）推导出安培力与速度的关系，由牛顿第二定律求拉力．
（4）回路中既有动生电动势，又有感生电动势，根据楞次定律判断可知两个电动势方向相同，相当于电池串联，再求得安培力，即可得解．

解答：解：（1）导体棒切割磁感线运动产生感应电动势E=BLv…①
感应电流为 I=

E

R+r

…②
根据平衡条件得：F=B₀IL=

B 2 0 L2v

R+r

…③
（2）根据法拉第定律得回路中产生的感应电动势 E=

△φ

△t

=

△B

△t

Lx₀…④
由B=B₀+kt知

△B

△t

=k…⑤
得 E=kLx₀…⑥
则得 F=BiL=

BLv

R+r

=

kx0L2

R+r

(B0+kt)…⑦
（3）t时刻导体棒的速度为 v=at…⑧
根据牛顿第二定律得 F-BIL=ma…⑨
则 F=BIL+ma=

B 2 0 L2

R+r

at+ma…⑩
（4）回路中既有动生电动势，又有感生电动势，根据楞次定律判断可知两个电动势方向相同，则回路中总的感应电动势为
 E=

△φ

△t

=BLv+kL（x₀+vt）=（B₀+kt）Lv+kL（x₀+vt）…（11）
则 F=BIL=

BLE

R+r

=

(B0+kt)[(B0+kt)v+k(x0+vt)]L2

R+r

…（12）
答：
（1）磁感应强度为B=B₀保持恒定，导体棒以速度v向右做匀速直线运动时，拉力为

B 2 0 L2v

R+r

．
（2）磁感应强度为B=B₀+kt随时间t均匀增强，导体棒保持静止时，拉力为

kx0L2

R+r

(B0+kt)；
（3）磁感应强度为B=B₀保持恒定，导体棒由静止始以加速度a向右做匀加速直线运动时拉力为

B 2 0 L2

R+r

at+ma．
（4）磁感应强度为B=B₀+kt随时间t均匀增强，导体棒以速度v向右做匀速直线运动时拉力为

(B0+kt)[(B0+kt)v+k(x0+vt)]L2

R+r

．

点评：解决本题的关键既掌握导体切割产生的动生电动势公式E=BLv，以及感生产生的电动势公式E=

△φ

△t

，楞次定律等等电磁学知识，还要掌握力学的基本规律，如平衡条件、牛顿第二定律等等．