Question

（1）已知地球质量为M，引力常量为G，在地心-恒星坐标系中，地球自转周期为T．求同步卫星离地心的距离．
（2）已知地球半径为R，在地心-恒星坐标系中，地球自转周期为T，贴近地球运行的卫星的周期为T₀．求同步卫星离地心的距离．
（3）已知地球半径为R，地面附近引力场强度约等于地面附近重力加速度g，在地心-恒星坐标系中地球自转周期为T．求同步卫星离地心的距离．

Answer 1

分析：地球同步卫星的周期与地球自转周期相同，同步卫星绕地球做圆周运动的向心力由万有引力提供，应用万有引力公式、向心力公式与牛顿第二定律可以求出同步卫星的轨道半径，即卫星到地心的距离．

解答：解：地球对同步卫星的万有引力提供同步卫星绕地球做圆周运的向心力，
设同步卫星离地心的距离为r，同步卫星的质量为m，
同步卫星绕地球做运转运动的周期等于地球自转周期T；
（1）由牛顿第二定律得：G

Mm

r2

=m(

2π

T

)2r，解得：r=

3	GMT2 4π2

；
（2）由牛顿第二定律得：
对同步卫星：G

Mm

r2

=m(

2π

T

)2r，
对贴近地球运行的卫星：G

Mm′

R2

=m′(

2π

T0

)2R，
解得：r=

3	T2 T 2 0

R；
（3）由牛顿第二定律得：G

Mm

r2

=m(

2π

T

)2r，
在地球表面的物体受到的重力等于地球对它的万有引力，
即：G

Mm′

R2

=m′g，
解得：r=

3	gR2T2 4π2

；
答：（1）同步卫星离地心的距离为

3	GMT2 4π2

；（2）同步卫星离地心的距离为

3	T2 T 2 0

R；（3）同步卫星离地心的距离为

3	gR2T2 4π2

．

点评：卫星绕地球做圆周运动，人造地球卫星所受到的万有引力充当向心力，故由向心力公式可求得线速度、角速度、周期等，选择合适的公式列方程即可正确解题．