Question

7．如图所示，水平转台上有一个质量为m的物块，用长为l的轻质细绳将物块连接在转轴上，细绳与竖直转轴的夹角θ为$\frac{π}{6}$，此时绳绷直但无张力，物块与转台间动摩擦因数为μ=$\frac{1}{3}$，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块随转台由静止开始缓慢加速转动，角速度为ω  加速度为g，则（　　）

• A． 当ω=$\sqrt{\frac{g}{2l}}$时，细线中张力为零
• B． 当ω=$\sqrt{\frac{3g}{4l}}$时，物块与转台间的摩擦力为零
• C． 当ω=$\sqrt{\frac{g}{l}}$时，细线的张力为$\frac{mg}{3}$
• D． 当ω=$\sqrt{\frac{4g}{3l}}$时，细绳的拉力大小为$\frac{4mg}{3}$

Answer 1

分析 对物体受力分析知物块离开圆盘前合力F=f+Tsinθ=$m\frac{{v}^{2}}{r}$；N+Tcosθ=mg，根据题目提供的条件，结合临界条件分析即可．

解答 解：A、当转台的角速度比较小时，物块只受重力、支持力和摩擦力，当细绳恰好要产生拉力时：
$μmg=m{ω}_{1}^{2}（lsin\frac{π}{6}）$，
解得：${ω}_{1}=\sqrt{\frac{2g}{3l}}$，由于$\sqrt{\frac{g}{2l}}＜\sqrt{\frac{2g}{3l}}$，所以当ω=$\sqrt{\frac{g}{2l}}$时，细线中张力为零．故A正确；
B、随速度的增大，细绳上的拉力增大，当物块恰好要离开转台时，物块受到重力和细绳的拉力的作用，则：
$mgtan\frac{π}{6}=m{ω}_{2}^{2}（lsin\frac{π}{6}）$
解得：${ω}_{2}=\sqrt{\frac{2\sqrt{3}g}{3l}}$，由于${ω}_{1}＜\sqrt{\frac{3g}{4l}}＜{ω}_{2}$，所以当ω=$\sqrt{\frac{3g}{4l}}$时，物块与转台间的摩擦力不为零．故B错误；
C、由于${ω}_{1}＜\sqrt{\frac{g}{l}}＜{ω}_{2}$，由牛顿第二定律：$f+Fsin\frac{π}{6}=m（\sqrt{\frac{g}{l}}）^{2}lsin\frac{π}{6}$，因为压力小于mg，所以$f＜\frac{1}{3}mg$，解得：F＞$\frac{1}{3}$mg．故C错误；
D、当ω=$\sqrt{\frac{4g}{3l}}$＞ω₂时，小球已经离开转台，细绳的拉力与重力的合力提供向心力，则：$mgtanα=m（\sqrt{\frac{4g}{3l}}）^{2}（lsinα）$
解得：cosα=$\frac{3}{4}$，故$F=\frac{mg}{cosα}=\frac{4}{3}mg$．故D正确．
故选：AD

点评 此题考查牛顿运动定律的应用，注意临界条件的分析，至绳中出现拉力时，摩擦力为最大静摩擦力；转台对物块支持力为零时，N=0，f=0．题目较难，计算也比较麻烦．