Question

5．如图所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R，一质量为m的小物块从斜轨道上h=2R处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动，求：
（1）物块通过与圆心等高处的A点时物块受到的合力；
（2）物块上升到多高处离开圆形轨道．

Answer 1

分析 （1）通过机械能守恒求得在A的速度，然后通过牛顿第二定律求得向心力，即可通过受力分析求得合外力；
（2）通过机械能守恒即牛顿第二定律，由在离开圆轨道位置轨道对物块的支持力为零求解．

解答 解：（1）物块在光滑轨道上运动只有重力做功机械能守恒，故有$mg（h-R）=\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$，那么，物块在A处的向心力${F}_{向}=\frac{m{{v}_{A}}^{2}}{R}=\frac{2mg（h-R）}{R}=2mg$；
物块只受重力、轨道的支持力作用，所以，轨道对物块的支持力做向心力，那么物块通过与圆心等高处的A点时物块受到的合力$F=\sqrt{{{F}_{向}}^{2}+{G}^{2}}=\sqrt{5}mg$；
（2）物块在光滑轨道上运动只有重力做功机械能守恒，那么物块必在A和圆形轨道最高点间离开圆形轨道；
设物块离开轨道的位置高度为H，那么由机械能守恒可得：$mg（h-H）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$；
对物块应用牛顿第二定律可得：$mg•\frac{H-R}{R}=\frac{m{v}^{2}}{R}$，所以，mg（H-R）=2mg（h-H），所以，$H=\frac{5}{3}R$；
答：（1）物块通过与圆心等高处的A点时物块受到的合力为$\sqrt{5}mg$；
（2）物块上升到$\frac{5}{3}R$处离开圆形轨道．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．