Question

如图所示，磁感应强度大小B=0.15T、方向垂直纸面向里的匀强磁场分布在半径R=0.10m的圆形区域内，圆的左端跟y轴相切于直角坐标系原点O，右端跟很大的荧光屏MN相切于x轴上的A点．置于原点的粒子源可沿x轴正方向以一定的速度v₀射出带正电的粒子流，粒子的重力不计，比荷q/m=1.0×10⁸C/kg．
（1）要使粒子能打在荧光屏上，粒子流的速度v₀应为多少？
（2）若粒子流的速度v₀=3.0×10⁶m/s，且以过O点并垂直于纸面的直线为轴，将圆形磁场逆时针缓慢旋转90°，求此过程中粒子打在荧光屏上离A的最远距离．

Answer 1

分析：（1）粒子进入磁场后由洛伦兹力提供向心力而做匀速圆周运动，要使粒子能打在荧光屏上，粒子速度的偏向角应大于90°，当粒子恰好不打到荧光屏上时，粒子从磁场的最高点射出磁场，画出轨迹，由几何知识求出半径，由牛顿第二定律求出此时速度，即可速度v₀应满足的条件．
（2）若粒子流的速度v₀=3.0×10⁶m/s，由牛顿第二定律求出粒子轨迹的半径．当圆形磁场区域转过90°时，磁场转动时，粒子在磁场中运动情况不变，根据作图分析P点为最高点的位置，由数学知识求出粒子打在荧光屏上离A的最远距离．

解答：解：（1）设当粒子流的速度v₀=v₁时，粒子恰好打不到荧光屏上，则这时粒子从磁场的最高点a竖直向上射出磁场，如图所示，由图可知，在磁场中的轨道半径为 r₁=R．①
又由洛伦兹力充当向心力，则有
   qv₁B=m

v 2 1

r1

 ②
由①②式解得 v1=

qBR

m

=1.5×10⁶m/s
由题意分析可知，当v₀＞v₁时，即v₀＞1.5×10⁶m/s时粒子能打在荧光屏上．
（2）若粒子流的速度v₀=3.0×10⁶m/s时，设粒子在磁场中轨道半径为r₂，则有
   qv₂B=m

v 2 0

r2

解得，r₂=0.2m=2R．
假设磁场无限大，粒子在磁场中运动的轨迹是就是以E为圆心、r₂=0.2m为半径的一段圆弧．作图得到荧光屏上最高点位置：如图所示，若以O为圆心、OA为半径作出圆孤AE交y轴于E点，以E为圆心、EO为半径作粒子运动轨迹交AE孤于B点，连接CB并延长交屏于P点，P点即为粒子到达的最高点．
由sinα=

R

r2

，得α=30°
AC=AO-OC=2R-r₂tanα
则y_m=PA=ACtan2α
联立解得，y_m=0.15m
答：（1）要使粒子能打在荧光屏上，粒子流的速度v₀应为1.5×10⁶m/s．
（2）粒子打在荧光屏上离A的最远距离是0.15m．

点评：带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动解题常用的程序是：
1、画轨迹：确定圆心，几何方法求半径并画出轨迹．
2、找关系：轨迹半径与磁感应强度、速度联系；偏转角度与运动时间相联系，时间与周期联系．
3、用规律：牛顿第二定律和圆周运动的规律．