Question

（2007?南京模拟）一根长为L质量为m的均匀柔软的链条悬挂在天花板上，且下端正好接触地板．若松开悬点，让链条自由下落．链条着地不反弹．
（1）求从开始释放到链条恰好全部着地的过程中，地板受到的平均冲力．
（2）试证明，在下落过程中，链条对地板的作用力等于已落在地板上的那段链条重力的三倍．

Answer 1

分析：（1）从开始释放到链条恰好全部着地的过程，可以看做质量都集中在整个链条的重心，从重心位置落到地面上时受到的平均冲力，根据动量定理即可求解；
（2）设链条单位长度的质量为m₀，当有长为l的链条落地时，落地部分的重力为m₀lg，根据自由落体运动速度位移公式求出正着地的质量元△m的速度，根据动量定理列式求解．

解答：解：（1）从开始释放到链条恰好全部着地的过程，可以看做质量都集中在整个链条的重心，从重心位置落到地面的过程，
设重心到达地面的速度为v，则：v²=2gh
解得：v=

2gh

=

gL

运动的时间t=

2h g

=

L g

根据动量定理得：
mv=Ft
解得：F=

m gL

L g

=mg
（2）设链条单位长度的质量为m₀，当有长为l的链条落地时，落地部分的重力为m₀lg，即其对地板的压力为F₁=mg=m₀lg．
这时，链条的下落速度

2gl

，也即正着地的质量元△m的速度为

2gl

．
设在△t时间内，质量元的速度减为零，在不计重力的条件下，它对地板的平均冲力为F2=

△P

△t

=

mv

△t

=

m0v△tv

△t

=m0v2，
所以链条对地板的作用力为 F=F₁+F₂=m₀lg+m₀v²=3mg，正好等于已落地那段链条重力的三倍
答：（1）从开始释放到链条恰好全部着地的过程中，地板受到的平均冲力为mg．
（2）证明如上．

点评：本题主要考查了动量定理及自由落体运动基本公式的直接应用，理解微元法的应用，难度适中．