Question

如图，两根光滑平行金属导轨放置在倾角为θ=30°的绝缝斜面上，两导轨间距为L=1m，导轨足够长且电阻忽略不计，导轨上端接一个阻值为R=8Ω的定值电阻，两导轨间等间 距分布着垂直于斜面向上的条形区域的匀强磁场，每一条形磁场区域的宽度及相邻条形磁场区域的间距均为x=1.2m，斜面处的磁场边界都是水平的．现有一长L=1m、质量m=0.4kg，电阻r=8Ω的导体棒水平放于导轨上、从离第一个条形磁场的上边界距离为x₀=1.6m处静止开始下滑．已知导体棒离开每个有界磁场前都有一段时间做匀速运动，从导体棒到达第一条形磁场的上边界开始计时，通过每个磁场区域和无磁场区域的时间都相同．（重力加速度为g=10m/s²）求：
（1）导体棒进入，离开每一个条形磁场区域时的速度v₁、v₂；
（2）磁场区域的磁感应强度B；
（3）导体棒通过每一个条形磁场区域的过程中电阻R上产生的热量Q；
（4）从导体棒到达第一条形磁场的上边界开始计时，在足够长的时间内，回路中感应电流的有效值I．

Answer 1

分析：（1）由于导体棒通过每个磁场区域和无磁场区域的时间都相同，可知导体棒在无磁场的范围内做加速运动，在磁场的区域内做减速运动，根据动能定理即可求得两个速度．
（2）导体棒在磁场中做匀速直线运动时，受到的安培力与重力沿斜面向下的分量大小相等方向相反，写出平衡方程，即可求得磁感应强度．
（3）导体棒穿过磁场的过程中，导体棒克服安培力做功等于回路产生的热量．根据功能关系得出回路产生的热量，根据总热量等于Q；
（4）求出导体棒穿过磁场的时间，然后根据电流的有效值的概念，根据公式Q=I²（R+r）T求得有效值．

解答：解：（1）设导体棒进入磁场时的速度为v₁，离开磁场时的速度为v₂，进入磁场时有：

v

2 1

=2gsin30°?x0
得：v₁=4m/s
在无磁场时有：

v

2 1

-

v

2 2

=2gsin30°?x
得：v₂=2m/s
（2）导体棒以速度做匀速直线运动时，感应电动势为：E=BLv₂
感应电流：I=

E

R+r

代入数据解得：B=4T
（3）根据能量守恒得，回路中产生的总热量：
Q=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 2

-mgxsin30°
代入数据解得：Q=4.8J
R上产生的热量：Q_R=2.4J
（4）在无磁场区域运动的时间：t=

v1-v2

gsin30°

=0.4s
导体棒穿过一个有磁场和无磁场的时间：T=2t=0.8s
又：Q=I²（R+r）T=4.8J
得：I=

6

4

A=0.61A
答：（1）导体棒进入，离开每一个条形磁场区域时的速度v₁=4m/s，v₂=2m/s；
（2）磁场区域的磁感应强度是4T；
（3）导体棒通过每一个条形磁场区域的过程中电阻R上产生的热量是4.8J；
（4）从导体棒到达第一条形磁场的上边界开始计时，在足够长的时间内，回路中感应电流的有效值为0.61A．

点评：本题将导体棒切割磁感线的几种情况集中到一起，涉及力的平衡，能量的转化关系与电流的有效值的概念，知识点多，过程多用到的公式多，属于比较难的题目．