Question

12．如图所示，“”型平行金属导轨LMN和OPQ分别固定，所构成的两个平面粗糙程度相同，MNPQ水平，LMOP倾斜、与水平面的夹角为θ．将两根电阻均为R、质量均为m的导体杆ab和cd，垂直放置在导轨上，cd杆刚好静止．现以MP连线为界，在水平导轨间加竖直向上的匀强磁场B₁，倾斜导轨间加垂直斜面向上的匀强磁场B₂，两个磁场的磁感应强度大小均为B，让ab杆在水平恒力作用下由静止开始向右运动．当cd杆再次刚要滑动时ab杆恰好运动了位移x达到最大速度，已知两导轨间距为L，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，金属导轨的电阻不计．求：
（1）ab杆由静止到刚好达到最大速度的过程中流过杆cd的电量；
（2）杆ab的最大速度；
（3）ab杆由静止到刚好达到最大速度的过程中两杆产生的总的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）应用法拉第电磁感应定律求出感应电动势，由欧姆定律求出感应电流，由电流定义式求出电荷量．
（2）杆匀速运动时速度最大，应用平衡条件求出最大速度．
（3）应用能量守恒定律可以求出两杆产生的总焦耳热．

解答 解：（1）平均感应电动势为：$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{B△S}{△t}$=$\frac{BLx}{△t}$，
平均感应电流为：$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{2R}$=$\frac{BLx}{2R△t}$，
通过cd杆的电荷量为：q=$\overline{I}$△t=$\frac{BLx}{2R}$；
（2）ab杆先做加速度减小的加速运动，后做匀速直线运动，ab杆做匀速直线运动时速度最大，此时杆受到的安培力为：F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$，
开始时ab刚好静止，由平衡条件得：mgsinθ=f，
cd杆到达最大速度时，ab杆恰好刚要滑动，由平衡条件得：mgsinθ+f=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$，
解得，cd杆的最大速度为：v=$\frac{4mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）对cd杆达到最大速度时，由平衡条件得：
F=$\frac{f}{cosθ}$+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$=mgtanθ+2mgsinθ，
由能量守恒定律得：（F-$\frac{f}{cosθ}$）x=Q+$\frac{1}{2}$mv²，
解得：Q=2mgxsinθ-$\frac{8{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{{B}^{4}{L}^{4}}$；
答：（1）ab杆由静止到刚好达到最大速度的过程中流过杆cd的电量为$\frac{BLx}{2R}$；
（2）杆ab的最大速度为$\frac{4mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）ab杆由静止到刚好达到最大速度的过程中两杆产生的总的焦耳热为2mgxsinθ-$\frac{8{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{{B}^{4}{L}^{4}}$．

点评 本题看似双棒问题，实质上单棒运动问题，对于cd棒关键要抓住平衡条件进行分析，对cd棒的运动过程分析清楚，同时要抓住两棒所受的安培力大小相等．