Question

如图所示，质量为m=8.0×10^-25kg，电荷量为q=1.6×10^-15C的带正电粒子从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限内，且与x方向夹角大于等于30⁰的范围内，粒子射入时的速度方向不同，但大小均为v₀=2.0×10⁷m/s．现在某一区域内加一方向向里且垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B=0.1T，若这些粒子穿过磁场后都能射到与y轴平行的荧光屏MN上，并且当把荧光屏MN向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变．求：
（1）粒子从y轴穿过的范围；
（2）荧光屏上光斑的长度；
（3）从最高点和最低点打到荧光屏MN上的粒子运动的时间差．
（4）画出所加磁场的最小范围（用斜线表示）

Answer 1

分析：（1）洛伦兹力提供向心力求出半径R的大小，初速度沿y轴正方向的粒子直接过y轴，然后速度方向在与x方向成30⁰的粒子转过的角度，即可确定粒子从y轴穿过的范围；
（2）求出沿y轴正方向和与x方向成30⁰射出的粒子的速度方向平行于x轴时的y轴坐标，中间区域就是光斑，求出宽度即可；
（3）分别求出最高点和最低点打到荧光屏MN上的粒子运动的时间，然后做差即可；
（4）磁场的最小范围就是粒子的运动区域．

解答：解：设磁场中运动的半径为R，牛顿第二定律
得：ev₀B=m

v02

R

解得：R=

mv0

Be

带入数值解得：R=0.1m
当把荧光屏MN向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变，说明电子出射方向平行，都沿-x方向，所加磁场为圆形，半径为R=0.1．                                  
（1）电子从y轴穿过的范围：
初速度沿y轴正方向的粒子直接过y轴
速度方向在与x方向成30⁰的粒子，转过的角OO₂A 为120⁰，
粒子从y轴穿过的范围：0---

3

R，即0--

3

10

m；
（2）如图所示，初速度沿y轴正方向的粒子，y_C=R
速度方向在与x方向成30⁰的粒子，转过的圆心角∠OO₂B为150⁰       
圆心角∠O₂OA=θ=30⁰
y_B=R+Rcosθ
荧光屏上光斑的长度：为y_B-y_C=

3

2

R=

3

20

m
（3）粒子旋转的周期：T=

2πR

v0

=

2πm

qB

=π×10^-8S
在磁场中的时间差：t₁=

1

12

T
出磁场后，打到荧光屏的时间差：t₂=

R

2v0

从最高点和最低点打到荧光屏MN上的粒子运动的时间差：
t=t₁-t₂=（

π

12

+0.5）×10^-8S
（4）最小磁场范围就是所有粒子运动的范围，如下图阴影部分：

答：（1）粒子从y轴穿过的范围为

3

20

m；
（2）荧光屏上光斑的长度

3

20

m；
（3）从最高点和最低点打到荧光屏MN上的粒子运动的时间差为（

π

12

+0.5）×10^-8S；

点评：此题考查带电粒子运动轨迹的计算，需要注意的是理解题意中光斑长度和位置不变所要表达的意思，然后才能求解，此题的难度较大．