Question

2．如图所示是某公司设计的“2009”玩具轨道，是用透明的薄壁圆管弯成的竖直轨道，其中引入管道AB及“200”管道是粗糙的，AB是与“2009”管道平滑连接的竖直放置的半径为R=0.4m的$\frac{1}{4}$圆管轨道，已知AB圆管轨道半径与“0”字型圆形轨道半径相同．“9”管道是由半径为2R的光滑$\frac{1}{4}$圆弧和半径为R的光滑$\frac{3}{4}$圆弧以及两段光滑的水平管道、一段光滑的竖直管道组成，“200”管道和“9”管道两者间有一小缝隙P，现让质量m=0.5kg的闪光小球（可视为质点）从距A点高H=2.4m处自由下落，并由A点进入轨道AB，已知小球到达缝隙P时的速率为v=8m/s，g取10m/s²．求：
（1）小球通过粗糙管道过程中克服摩擦阻力做的功；
（2）小球通过“9”管道的最高点M时对轨道的作用力；
（3）小球从C点离开“9”管道之后做平抛运动的水平位移．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求得摩擦力做的功即可得到克服摩擦力做的功；
（2）通过“9”管道中运动机械能守恒求得在M点的速度，即可由牛顿第二定律求得支持力，然后由牛顿第三定律求得对轨道的作用力；
（3）通过“9”管道中运动机械能守恒求得在C点的速度，然后根据平抛运动位移公式求解．

解答 解：（1）小球由静止到P的运动过程只有重力、摩擦阻力做功，故由动能定理可得：$mg（H+3R）+{W}_{f}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：${W}_{f}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-mg（H+3R）=-2J$，$\frac{1}{2}m{v}^{2}=16J$；
故小球通过粗糙管道过程中克服摩擦阻力做的功为2J；
（2）小球在“9”管道中运动只有重力做功，故机械能守恒，所以有$\frac{1}{2}m{v}^{2}=4mgR+\frac{1}{2}m{{v}_{M}}^{2}$；
那么，对小球在M点应用牛顿第二定律可得：${F}_{N}+mg=\frac{m{{v}_{M}}^{2}}{R}=\frac{m{v}^{2}-8mgR}{R}=40N$，方向竖直向下；
故由牛顿第三定律可知：小球通过“9”管道的最高点M时对轨道的作用力为40N，方向竖直向上；
（3）小球在“9”管道中运动只有重力做功，故机械能守恒，所以有$\frac{1}{2}m{v}^{2}=2mgR+\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$
解得：${v}_{C}=4\sqrt{3}m/s$；
然后根据平抛运动位移公式可得：
竖直位移为：$2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
水平位移为：$x={v}_{C}t={v}_{C}\sqrt{\frac{4R}{g}}=1.6\sqrt{3}m≈2.77m$；
答：（1）小球通过粗糙管道过程中克服摩擦阻力做的功为2J；
（2）小球通过“9”管道的最高点M时对轨道的作用力为40N，方向竖直向上；
（3）小球从C点离开“9”管道之后做平抛运动的水平位移为2.77m．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．