Question

2．如图甲所示，长为L、间距为d的两金属板A、B水平放置，ab为两板的中心线，一个带电粒子以速度v₀从a点水平射入，沿直线从b点射出，粒子质量为m，电荷量为q．若将两金属板接到如图乙所示的交变电压上，欲使该粒子仍能从b点以速度v₀射出，求：
（1）交变电压的周期T应满足什么条件；
（2）粒子从a点射入金属板的时刻应满足什么条件．

Answer 1

分析 （1）根据题意可知，周期的整数倍应与水平飞出时的时间相等；
（2）分析粒子在竖直方向上的运动情况，明确粒子在做往复运动，只需竖直方向的位移等0即可．

解答 解：带电粒子进入电场后，开始时在电场中做类平抛运动，水平方向的速度保持不变，竖直方向做初速度为0的匀加速直线运动．
当电场的方向改变后，粒子在竖直方向做减速运动．若粒子在t=0时刻进入电场，其速度图线随时间的变化关系如图：

若要带电粒子经过一定的时间后从与a在同一条水平线上的b点，仍然以入射速度v₀穿出电场，则需要粒子在竖直方向的位移等于0，显然，在t=0时刻粒子进入电场是不可能通过b点的．
由图可知，粒子的加速度的大小是不变的，加速与减速的过程是对称的，若粒子是在t不等于0的任意时刻进入电场，其速度随时间的变化如图2，

经过n个周期运动后，粒子的竖直方向的分速度是0，但是，只有在横坐标上方的速度图线与时间轴围成的面积与横坐标下方的速度图线与时间轴围成的面积相等时，粒子在竖直方向的位移才等于0．这种情况下粒子第一段加速的时间是$\frac{1}{4}T$，所以粒子进入电场的时刻对应电场的$\frac{1}{4}T$，$\frac{3}{4}T$，$\frac{5}{4}T$，…即：t=$\frac{n}{2}T+\frac{T}{4}$，n取正整数．
设经过n个周期运动后，能平行金属板射出，
则nT=$\frac{L}{{v}_{0}}$，T=$\frac{L}{n{v}_{0}}$．
n可取正整数．
答：（1）交流电压的周期T应满足的条件是T=$\frac{L}{n{v}_{0}}$，n取正整数；
（2）粒子从a点射入金属板的时刻应满足的关系是：t=$\frac{n}{2}T+\frac{T}{4}$，n取正整数．

点评 本题考查带电粒子在电场中运动的规律，要注意明确粒子在电场中的运动过程，特别是竖直方向上的运动分析．