Question

2．如图所示，一群同种带电粒子以一定的初动能沿x轴射入平行板电场中，平行极板水平放置，两极板关于x轴对称，板长为l，板右端距y轴距离为$\frac{l}{2}$．且极板间通有正弦式交流电压，交流电的周期远大于粒子在电场中的运动时间．所有粒子都能通过平行板电场，当粒子离开电场时，它们的动能最大值为初动能的$\frac{4}{3}$倍．在y轴的右侧存在匀强磁场（图中未画出），粒子进入磁场运动一段时间后，会再次经过y轴，其中动能最小的粒子通过（0，-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$l），不计粒子的重力．求：
（1）粒子第一次经过y轴的区域；  
（2）粒子第二次经过y轴的区域．

Answer 1

分析 （1）当板间电压最大时，粒子离开电场的动能最大．根据题意：该粒子离开电场时的动能为初动能的$\frac{4}{3}$倍，求出粒子沿y轴方向的分速度．再由类平抛运动的规律求解粒子第一次经过y轴时离O点的最远距离，从而区域的范围．
（2）当板间电压为零时，出电场时速度最小为v₀．粒子进入磁场后向下方偏转，由洛伦兹力提供向心力，求出轨迹半径．由几何关系求出进入磁场偏转后再经过y轴时沿y轴向下的偏转距离．

解答 解：（1）当板间电压最大时，离开电场的动能最大，设粒子质量为m，电荷量为q，初速度为v₀，离开电场时的最大速度为v，由题意得：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{4}{3}×\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$  
又 v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$   
解得：v_y=$\frac{\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$
在板间运动时有：l=v₀t₁，y₁=$\frac{{v}_{y}}{2}{t}_{1}$      
解得：y₁=$\frac{\sqrt{3}}{6}$l   
出电场到y轴的过程中有：$\frac{l}{2}={v}_{0}{t}_{2}$  
y₂=v_yt₂，
解得：y₂=$\frac{\sqrt{3}}{6}$l 
则粒子第一次到y轴上时距离O点的最远距离为：y=y₁+y₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$l
由对称性可知，粒子第一次经过y轴时纵坐标的范围为：-$\frac{\sqrt{3}}{3}$l≤y≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$l．
（2）当板间电压为零时，出电场时速度最小为v₀
由题意可得，粒子进入磁场后向下方偏转，且有：R₀=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$l
根据牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{0}}$   
则有：R₀=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$l
设任一粒子进入磁场时速度方向与x轴夹角为 θ，则有：v=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$
进入磁场偏转后再经过y轴时沿y轴向下的偏转距离为：Y=2Rcosθ
并且有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$   
解之得：Y=$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$l
则第二次经过y轴的纵坐标范围为：-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$l≤y≤-$\sqrt{3}$l
答：（1）粒子第一次经过y轴时纵坐标的范围为-$\frac{\sqrt{3}}{3}$l≤y≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$l．
（2）第二次经过y轴的纵坐标范围为-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$l≤y≤-$\sqrt{3}$l．

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程是正确解题的前提与关键，应用牛顿第二定律、类平抛运动规律、磁场中半径公式即可正确解题．