Question

9．如图所示，轻杆长为2L，水平转轴O穿过杆的中点（接触面光滑），杆两端分别固定着小球A和B．A球质量为m，B球质量为2m，两球随杆一起在竖直平面内绕轴O做圆周运动．（重力加速度用g表示）
（1）杆以某角速度绕转轴O转动，A球在最高点时，杆的上端恰不受力，求此时转轴O受力的大小和方向；
（3）若杆转动的角速度逐渐变化，试问杆转至竖直位置时，能否出现转轴O不受力的情况？若能，请说明此时哪个球在上端，杆转动的角速度多大？

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出小球在最高点的速度，A、B两球由于半径相等，角速度相等，可知线速度大小相等．再根据牛顿第二定律求出杆子对B球的拉力大小，从而得出时转轴O受力的大小和方向；
（2）因为B的质量大于A的质量，只有B球在最高点时，且做圆周运动出现O轴不受力，此时杆子对A、B两球均表现为拉力，根据拉力相等求出A、B的速度．

解答 解：（1）A在最高点时，杆的上端恰不受力，根据牛顿第二定律得，$mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{L}$，解得${v}_{1}=\sqrt{gL}$，
A、B的线速度大小相等，对B分析，根据牛顿第二定律得，${F}_{B}-2mg=2m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{L}$，解得F_B=4mg，
则转轴O受到的力方向竖直向下，大小为4mg．
（2）要使O轴不受力，根据B的质量大于A的质量，可判断B球应在最高点．
对B有：T_OB+2mg=2mLω²，
对A有：T_OA-mg=mLω²，
轴O不受力时，T_OA=T_OB，可得：ω=$\sqrt{\frac{3g}{L}}$．
答：（1）此时转轴O受力的大小为4mg，方向竖直向下．
（2）能出现转轴O不受力的情况，此时B球在上端，杆转到的角速度为$\sqrt{\frac{3g}{L}}$．

点评 解决本题的关键搞清小球做圆周运动向心力的来源，再运用牛顿第二定律进行求解．