Question

（14分）如图所示，光滑水平面右端B处连接一个竖直的半径为R的光滑半圆轨道，B点为水平面与轨道的切点，在离B距离为x的A点，用水平恒力将质量为m的质点从静止开始推到B处后撤去恒力，质点沿半圆轨道运动到C处后又正好落回A点：

（1）求推力对小球所做的功。

（2）x取何值时，完成上述运动推力所做的功最少？最小功为多少。

（3）x取何值时，完成上述运动推力最小？最小推力为多少。

Answer 1

（14分）解：

(1)质点从半圆弧轨道做平抛运动又回到A点，设质点在C点的速度为v_C，质点从C点运动到A点所用的时间为t，

在水平方向：  x=v_Ct                               （1分）

竖直方向上：2R=gt²                                           （1分）

解得   v_C=                          （1分）    

   对质点从A到C由动能定理有

W_F-mg·2R=mv                            （2分）      

解W_F=mg(16R²+x²)/8R                         （1分）     

(2)要使F力做功最少，确定x的取值，由W_F=2mgR+mv知，只要质点在C点速度最小，则功W_F就最小。若质点恰好能通过C点，其在C点最小速度为v，由牛顿第二定律有

mg=,则v=                              （2分）       

有=,解得：x=2R                （1分）      

当x=2R时， W_F最小，最小的功：W_F=mgR        （1分）

(3)由W_F=mg() 及W_F=F x       得：F=mg()      （2分）                                                      

  F 有最小值的条件是： =、即x=4R                      （1分）

得最小推力为：F=mg                                   （1分）