Question

（2008?江苏模拟）已知地球半径为R，一个静止在赤道上空的热气球（不计气球离地高度）绕地心运动的角速度为ω₀，一颗人造地球卫星的圆形轨道距地面高度为h，地球质量、热气球质量和人造地球卫星和质量分别用M、m和m₁表示，M、m、m₁及引力常量G为未知量，根据上述条件，有位同学列出经下一两个式子：对热气球有

GMm

R2

=m

ω

2 0

R，对人造地球卫星有

GMm1

(R+h)2

=m1ω2(R+h)．该同学利用上面两个式子解出了人造地球卫星绕地球运行的角速度ω．你认为这个同学的解法是否正确？若认为正确，请算出结果，若认为不正确，请说明理由，并补充一个条件后，再求出ω（要求分三次补充不同的条件求解）．

Answer 1

分析：静止在赤道上空的热气球受重力和浮力处于平衡，绕地心运动所需的向心力不是由万有引力提供，是万有引力与浮力的合力提供向心力．所以该同学的解法是错误的．

解答：解：第一个等式不正确，因为热气球静止在空中是因为浮力与重力平衡，它受到地球的引力并不等于它绕地心运动的向心力．
（1）若补充地球表面的重力加速度g，认为热气球受到的万有引力近似等于其重力，
则有

GMm

R2

=mg
与题中第二个等式联立可得ω=

R

R+h

g R+h

（2）若利用同步卫星的高度H有

GMm/

(R+h)2

=m/

ω

2 0

(R+h)，
与题中第二个等式联立可得ω=ω0(

R+H

R+h

)

3

2

（3）若利用第一宇宙速度v₁  
根据万有引力提供向心力，有

GMm/

R2

=

m/ v 2 1

R

与题中第二个等式联立可得ω=v1

R (R+h)3

答：第一个等式不正确，若补充地球表面的重力加速度g，ω=

R

R+h

g R+h

若补充同步卫星的高度H，ω=ω0(

R+H

R+h

)

3

2

若补充第一宇宙速度v₁，ω=v1

R (R+h)3

．

点评：本题考查了万有引力在天体中的应用，解题的关键在于找出向心力的来源，并能列出等式解题．
要注意热气球受地球的引力并不等于它绕地心所需的向心力．