Question

12．过山车的玩法很多，如图A、B就是其中的两种，将这两种过山车简化成车在外轨道和内轨道运动，假设这两种过山车做的都是圆周运动，做圆周运动的半径为R，重力加速度为g，不考虑各种摩擦阻力，则：

（1）在图A中，通过最高点时人对座位刚好没有压力，在最高点速度是多少？
（2）在图A中，在圆形轨道的最低点安装一个测力传感器，传感器的示数在多大范围时，过山车才能安全通过最高点，已知过山车和人的总质量为M
（3）在图B中，要求过山车在最高点时对轨道的压力是其重力的1倍到3倍，则最开始释放的位置距离轨道最低点高度．

Answer 1

分析 （1）在图A中，当过山车到圆形轨道最高点人对座位没有压力，即只受重力作用，根据重力提供向心力可知求解；
（2）在图A中，要能安全通过最高点，则在最高点：$0＜v＜\sqrt{gR}$，从最低点到最高点过程根据动能定理列式，在最低点，根据向心力公式列式，联立方程求解；
（3）图B中，在最高点，根据向心力公式列式，从释放位置到圆形轨道最高点过程中，根据动能定理列式，联立方向即可求解．

解答 解：（1）在图A中，当过山车到圆形轨道最高点人对座位没有压力，即只受重力作用，则有
mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{gR}$
（2）在图A中，要能安全通过最高点，则在最高点：$0＜v＜\sqrt{gR}$
从最低点到最高点过程：
$-Mg2R=\frac{1}{2}M{v}^{2}-\frac{1}{2}M{{v}_{1}}^{2}$
在最低点：
${F}_{N}-Mg=M\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$
解得：5Mg＜F_N≤6Mg
（3）图B中，在最高点：
${F}_{N}′+mg=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$
解得：mg≤F_N′≤3mg
从释放位置到圆形轨道最高点过程：
$mg（h-2R）=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}-0$
解得：4R≤h≤6R
答：（1）在图A中，通过最高点时人对座位刚好没有压力，在最高点速度是$\sqrt{gR}$；
（2）在图A中，在圆形轨道的最低点安装一个测力传感器，传感器的示数在5Mg＜F_N≤6Mg范围时，过山车才能安全通过最高点；
（3）在图B中，要求过山车在最高点时对轨道的压力是其重力的1倍到3倍，则最开始释放的位置距离轨道最低点高度为4R≤h≤6R．

点评 本题主要考查了向心力公式以及动能定理的直接应用，解题时要分析清楚向心力的来源，要求同学们能正确分析物体的受力情况，难度适中．