Question

4．光滑水平面上，一个长平板与半圆组成如图甲所示的装置，半圆弧面（直径AB竖直）与平板表面相切于A点，整个装置质量M=5kg．在装置的右端放一质量为m=1kg的小滑块（可视为质点），小滑块与装置一起以v₀=8m/s的速度向左运动．现给装置加一个F=43N向右的水平推力，小滑块与长平板发生相对滑动，装置运动的v-t图如图乙所示．当装置速度减速为零时，小滑块恰好滑至长平板的左端A，此时撤去外力F并将装置锁定，小滑块继续沿半圆形轨道运动，恰好能通过轨道最高点B．滑块脱离半圆形轨道后又落回长平板．已知小滑块在通过半圆形轨道时克服摩擦力做功W_f=2.5J．g取10m/s²．求：

（1）小滑块与长平板间的动摩擦因数μ；
（2）长平板的长度L；
（3）小滑块最后落回长平板上的落点离A的距离．

Answer 1

分析 （1）根据图象求的装置的加速度大小，根据牛顿第二定律求的摩擦力，由f=μF_N求的摩擦因数
（2）根据牛顿第二定律求的物块的加速度，根据运动学公式求的装置和物块的位移，即可求得装置的长度；
（3）从A到B根据动能定理和牛顿第二定律求的圆弧的半径和B点的速度，根据平抛运动的特点求的水平距离

解答 解：（1）由图乙，装置向左减速运动的加速度大小a_M=$\frac{△v}{△t}$=8m/s² …①
装置减速过程水平方向受力如图所示：
由牛顿第二定律：F-f=M a_M…②
滑块与平板间的滑动摩擦力f=μmg  …③
①～③联立，得：μ=0.3  
（2）由图乙，装置向左运动的位移S_M=4m …④
设这段时间内滑块的加速度大小为a_m，由牛顿第二定律，f=m a_m…⑤
滑块运动到A点时的速度v_A=v₀-a_mt₁ …⑥
解得：v_A=5m/s
滑块向左运动的位移S_m=$\frac{{{v_0}+{v_A}}}{2}•{t_1}$…⑦
解得：S_m=6.5m
平板的长度L=S_m-S_M …⑧
③⑤⑥⑦⑧联立，解得：L=2.5m 
（3）设滑块在B点的速度大小为v_B，半圆弧面的半径为R，从A至B，由动能定理得：$-mg•2R-{W_f}=\frac{1}{2}mv_B^2-\frac{1}{2}mv_A^2$…⑨
在B点，有：$mg=m\frac{v_B^2}{R}$…⑩
解得：R=0.4m，v_B=2m/s
设滑块从B点飞出做平抛运动的时间为t₂，有$2R=\frac{1}{2}gt_2^2$…⑪
解得：t₂=0.4s
滑块落点离A的距离x=v_B t₂…⑫
⑥⑧⑨⑩⑪联立，代入数据得：x=0.8m
答：（1）小滑块与长平板间的动摩擦因数μ为0.3；
（2）长平板的长度L为2.5m；
（3）小滑块最后落回长平板上的落点离A的距离为0.8m．

点评 弄清问题的运动情况和受力情况是解题的关键，灵活利用牛顿第二定律和运动学公式求解是解题的核心，此题综合性较强