Question

20．某星球的半径为R，在该星球表面某一倾角为θ的山坡上以初速度v₀平抛一物体，经过时间t该物体落到山坡上．（不计一切阻力）
（1）该星球表面重力加速度多大？
（2）为了测该星球的自转周期，从该星球发射一颗同步卫星，已知同步卫星离该星球表面高度为h，求该星球的自转周期．

Answer 1

分析 （1）物体做平抛运动，应用平抛运动规律可以求出重力加速度．
（2）卫星绕星球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律求出同步卫星的周期，即星球自转的周期．

解答 解：（1）物体做平抛运动，
水平方向：x=v₀t，
竖直方向：y=$\frac{1}{2}$gt²，
由几何关系可知：tanθ=$\frac{y}{x}$=$\frac{gt}{2{v}_{0}}$，
解得：g=$\frac{2{v}_{0}}{t}$tanθ；
（2）星球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，
同步卫星做圆周运动，万有引力提供向心力，
由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$（R+h），
解得：T=2π$\sqrt{\frac{（R+h）^{3}t}{2{v}_{0}{R}^{2}tanθ}}$；
答：（1）该星球表面重力加速度为$\frac{2{v}_{0}}{t}$tanθ；
（2）该星球的自转周期为2π$\sqrt{\frac{（R+h）^{3}t}{2{v}_{0}{R}^{2}tanθ}}$．

点评 本题是一道万有引力定律应用与运动学相结合的综合题，考查了求重力加速度、星球自转的周期，应用平抛运动规律与万有引力公式、牛顿第二定律可以解题；解题时要注意“黄金代换”的应用．