Question

12．如图所示，竖直放置的质量M=0.4kg，长为L的圆这顶端塞有一个质量为m=0.1kg的弹性小球，球和管间的滑动摩擦力和最大静摩擦力大小均为4N，圆管从下端离地面距离H=1.25m处自由落下，落地后向上弹起的速度与落地时速度大小相等地，假设圆管弹起过程中圆球不会滑出圆管，空气阻力的作用不计．
（1）求圆管触地反弹起时，圆管和小球的加速度大小；
（2）求圆管反弹后经过多少时间与小球达到相对静止；
（3）要使小球不滑出圆管，圆管长度L至少为多少．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律，分别求圆管和小球的加的速度．
（2）根据管上升的加速度，以及相对加速度，再根据运动学公式求出时间．
（3）根据功能关系求出球相对于管静止时的相对位移，即为管的最小长度．

解答 解：（1）触地反弹起时，根据牛顿第二定律得：
管的加速度 a₁=$\frac{Mg+{f}_{m}}{M}$=$\frac{4+4}{0.4}$=20m/s²，方向向下
球的加速度 a₂=$\frac{{f}_{m}-mg}{m}$=$\frac{4-1}{0.1}$=30m/s²，方向向上．
（2）圆管触地前的速度  v=$\sqrt{2gH}$=$\sqrt{2×10×1.25}$=5m/s
设圆管反弹后经过t时间与小球达到相对静止，取向上为正方向，则有
  v-a₁t=-v+a₂t
代入数据解得：t=0.2s
（3）要使小球恰好不滑出圆管，管落在地面上速度为零时球停在管的底端速度为零，根据能量守恒定律得：
 f_mL=MgH+mg（L+H）
可得管的最小长度 L=$\frac{（M-m）gH}{{f}_{m}-mg}$=$\frac{（0.4-0.1）×10×1.25}{4-1}$=1.25m
答：
（1）圆管触地反弹起时，管的加速度是20m/s²，方向向下．球的加速度是30m/s²，方向向上．
（2）圆管反弹后经过0.2s时间与小球达到相对静止．
（3）要使小球不滑出圆管，圆管长度L至少为1.25m．

点评 本题的难点在于管和球的运动情况难于判断，关键通过计算理清球和管的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．