Question

11．假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g₀，如图所示，飞船首先沿距月球表面高度为3R的圆轨道I运动，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ的近月点B再次点火进入近月轨道Ⅲ（轨道半径可近似当做R）绕月球做圆周运动．下列判断正确的是（　　）

• A． 飞船在轨道 I上的运行速率为$\sqrt{{g}_{0}R}$
• B． 飞船在轨道Ⅲ绕月球运动一周所需的时间为2π$\sqrt{\frac{R}{{g}_{0}}}$
• C． 飞船在Ⅱ轨道A点速率大于在Ⅰ轨道A点速率
• D． 飞船在Ⅱ轨道B点加速度大于Ⅲ轨道B点加速度

Answer 1

分析 在月球表面，万有引力等于重力，在任意轨道，万有引力提供向心力，联立方程即可求解，卫星变轨也就是近心运动或离心运动，根据提供的万有引力和所需的向心力关系确定，飞船在近月轨道Ⅲ绕月球运行，重力提供向心力，根据向心力周期公式即可求解．

解答 解：A、飞船在轨道Ⅰ上，万有引力提供向心力：G$\frac{Mm}{（3R+R）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{3R+R}$，在月球表面，万有引力等于重力得：G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}=m{g}_{0}$，解得：v=$\frac{\sqrt{{g}_{0}R}}{2}$，故A错误；
B、设飞船在近月轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间为T，则：m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R=mg₀，T=2π$\sqrt{\frac{R}{{g}_{0}}}$，故B正确；
C、飞船在Ⅱ轨道经过A点后开始做近心运动，而在I轨道上做匀速圆周运动，根据近心运动条件提供的向心力大于圆周运动所需向心力可得在II轨道上经过A点时的速率小于在I轨道上经过A点时的速率，故C错误；
D、飞船运动过程中由万有引力产生加速度故在空中同一位置，不管在哪个轨道飞船的加速度相同，故D错误．
故选：B．

点评 本题考查了万有引力定律的应用，知道飞船做圆周运动的向心力由万有引力提供是正确解题的前提，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以解题，要掌握应用万有引力定律解题的思路与方法．