Question

如图所示是一个设计“过山车”的试验装置的原理示意图，斜面AB与竖直面内的圆形轨道在B点平滑连接，圆形轨道半径为R．一个质量为m的小车（可视为质点）在A点由静止释放沿斜面滑下，A点距水平面的高度为4R，当它第一次经过B点进入圆形轨道时对轨道的压力为其重力的7倍，小车恰能完成圆周运动并第二次经过最低点B后沿水平轨道向右运动．已知重力加速度为g，斜面轨道与底面的夹角为53⁰．（sin53°=0.8  cos53°=0.6）求：

（1）小车第一次经过B点时的速度大小v_B；
（2）小车在斜面轨道上所受阻力与其重力之比k；
（3）假设小车在竖直圆轨道左、右半圆轨道部分克服阻力做的功相等，求小车第二次经过竖直圆轨道最低点时的速度大小v′？

Answer 1

分析：（1）小车第一次经过B点时，由重力和轨道的支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求解速度v_B．
（2）小车从A点到B点的过程，重力做功mg?4R．斜面长为L=

4R

sin53°

=5R，阻力做功-kmg?5R，初动能为零，末动能为

1

2

m

v

2 B

，根据动能定理求解k．
（3）小车在右半圆轨道上向上运动过程中，重力做功-2mgR，阻力做功-W_f．小车在左半圆轨道上向上运动过程中，重力做功2mgR，阻力做功-W_f．分别运用动能定理对两个运动过程进行研究，列方程，求出v′．

解答：解：（1）设第一次小车运动到B点的速度大小为v_B，受到的支持力为N，根据牛顿第二定律得
      N-mg=m

v 2 B

R

                    
解得  v_B=

6gR

                    
（2）小车从A点到B点的过程，根据动能定理有
    mg?4R-kmg?5R=

1

2

m

v

2 B

解得k=0.2                       
（3）设小车在圆轨道最高点的速度为v_C，由重力提供向心力，则有mg=m

v 2 C

R

解得v_c=

gR

                 
设小车在右半圆轨道上克服阻力做功W_f，对小车从B点运动到C的点过程，根据动能定理有
-mg2R-W_f=

1

2

m

v

2 C

-

1

2

m

v

2 B

解得 W_f=

1

2

mgR          
设小车第二次经过B点时的速度为v′，对小车从B点运动到C点再回到B点的过程，根据动能定理有：
-2W_f=

1

2

mv′2-

1

2

m

v

2 B

解得v′=2

gR

答：
（1）小车第一次经过B点时的速度大小v_B=

6gR

；
（2）小车在斜面轨道上所受阻力与其重力之比k=0.2；
（3）假设小车在竖直圆轨道左、右半圆轨道部分克服阻力做的功相等，小车第二次经过竖直圆轨道最低点时的速度大小v′=2

gR

．

点评：涉及力在空间的效应，要优先考虑动能定理．对于圆周运动，涉及力的问题，往往根据向心力进行分析处理．难度适中．