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12.如图,两根足够长、间距L=1m的光滑平行导轨竖直固定.在垂直导轨的虚线a1a2下方有方向如图、磁感应强度B0=0.5T的匀强磁场,垂直导轨的虚线b1b2上方有垂直纸面、磁感应强度B=$\frac{20}{\sqrt{4+10x}}$T(x为离b1b2的距离)、沿水平方向均匀分布的磁场.现用竖直向上的力F拉质量m=50g的细金属杆c从b1b2以初速度v0开始向上运动,c杆保持与导轨垂直.同时,释放垂直导轨置于a1a2下质量也为m=50g、电阻R=20Ω的细金属杆d,d杆恰好静止.其余电阻不计,两杆与导轨接触良好,g取10m/s2
(1)求通过杆d的电流大小及b1b2以上区域磁场的方向;
(2)通过分析和计算,说明杆c做什么性质的运动;
(3)以杆c从b1b2出发开始计时,求其所受作用力F的大小与时间t的关系式.

分析 (1)对杆d根据共点力的平衡条件求解电流强度,根据左手定则和右手定则判断磁场方向;
(2)由切割磁感线电动势公式和欧姆定律得到c杆上升的速度大小,再根据位移速度关系分析运动情况;
(3)杆c此时受拉力F、重力、安培力作用,由牛顿第二定律求解拉力F与位移的表达式,将位移代入F的表达式即可.

解答 解:(1)杆d受重力、安培力作用而平衡:B0IL=mg     ①
得:I=$\frac{mg}{{B}_{0}L}=\frac{0.05×10}{0.5×1}A$=1A     ②
由杆d受到的安培力向上,用左手定则得到杆d中电流向左,由杆c电流方向向右,用右手定则得到磁场垂直纸面向外.          
(2)设杆c上升到离b1b2距离为x处、切割磁感线的速率为v,由切割磁感线电动势公式和欧姆定律有:I=$\frac{BLv}{R}$         ③
故v=$\frac{IR}{BL}$=$\frac{1×20}{\frac{20}{\sqrt{4+10x}}×1}m/s=\sqrt{4+10x}m/s$
符合v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+2ax}$公式,所以杆c匀加速直线上升,且初速度v0和加速度a的大小分别为:v0=2m/s           ④
a=5m/s2           ⑤
(3)杆c此时受拉力F、重力、安培力作用,由牛顿第二定律有:F-mg-BIL=ma   ⑥
解得F=(0.75+$\frac{20}{\sqrt{4+10x}}$)N       ⑦
杆c从b1b2出发到此时位置的位移x=v0t+$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=(2t+2.5t2)m         ⑧
联列⑦⑧得:F=(0.75+$\frac{20}{\sqrt{4+20t+25{t}^{2}}}$)N.
答:(1)通过杆d的电流大小为1A,b1b2以上区域磁场的方向垂直纸面向外;
(2)杆c匀加速直线上升;
(3)以杆c从b1b2出发开始计时,其所受作用力F的大小与时间t的关系式为F=(0.75+$\frac{20}{\sqrt{4+20t+25{t}^{2}}}$)N.

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条:一条从力的角度,重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题,根据平衡条件列出方程;另一条是能量,分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题,根据动能定理、功能关系等列方程求解.

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