Question

7．如图所示，在半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场B．在圆形磁场区域右侧距离磁场边界R处有一竖直感光板MQN，在圆形磁场区域上边界处有一可转动的平行板电容器和电子发射装置S，电子发射装置能不断地产生初速不计．质量m，电量为e的电子，两板间所加电压满足U=$\frac{{R}^{2}{B}^{2}e}{2m}$．若不计电子所受重力和电子间的相互影响，且电子发射装置连同电容器一起向左向右都能摆动θ角，电子仍可从P点射入．
（1）若发射装置不摆动对准圆心射入，求电子的磁场中的运动时间；
（2）若发射装置摆动，求电子打的感光板的最大范围；
（3）求电子打在感光板上时电子运动的最长和最短时间之差．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理列式求解速度；根据洛伦兹力提供向心力求出电子在磁场中运动的轨道半径；从而根据几何关系求出圆弧的圆心角大小，通过弧长和速度求出在磁场中运动的时间．
（2）电子的轨道半径为R，则轨迹圆的圆心、磁场区域圆的圆心、两个圆的两个交点构成菱形，则所有的电子离开磁场时速度方向水平向右，结合几何关系得到电子打的感光板的最大范围；
（3）考虑临界情况：电子初速度水平向右时，到达光屏时间最短；电子初速度水平向左时，到达光屏时间最长（可以考虑速度略微偏下一点）．

解答 解：（1）对加速过程，根据动能定理，有：eU=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
根据题意，有：U=$\frac{{R}^{2}{B}^{2}e}{2m}$
联立解得：${v}_{0}=\frac{RBe}{m}$
设带电粒子进入磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r，由牛顿第二定律得：ev₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$
带电粒子在磁场中的运动轨迹为四分之一圆周，轨迹对应的圆心角为$\frac{π}{2}$，如图所示：

r=R
则：t=$\frac{\frac{π}{2}R}{{v}_{0}}$=$\frac{πm}{2eB}$
（2）电子的轨道半径为R，则轨迹圆的圆心、磁场区域圆的圆心、两个圆的两个交点构成菱形，如图所示：

则所有的电子离开磁场时速度方向水平向右，故电子打的感光板的最大范围为2R；
（3）电子初速度水平向右时，到达光屏时间最短，为：t_min=$\frac{PM}{{v}_{0}}$
电子初速度水平向左时，到达光屏时间最长，为：t_max=$\frac{T}{2}$+$\frac{PM}{{v}_{0}}$
故最长和最短时间之差为：△t=$\frac{T}{2}$=$\frac{πm}{eB}$；
答：（1）若发射装置不摆动对准圆心射入，电子的磁场中的运动时间为$\frac{πm}{2eB}$；
（2）若发射装置摆动，求电子打的感光板的最大范围为2R；
（3）求电子打在感光板上时电子运动的最长和最短时间之差为$\frac{πm}{eB}$．

点评 本题考查带电粒子在磁场中的运动，关键是画出轨迹，确定临界轨迹；本题对数学几何能力要求较高，需加强这方面的训练．