Question

6．如图所示，边长为L=0.3m正方形边界abcd中有垂直纸面向里、磁感应强度大小为B₀=0.5T的匀强磁场，一质量m=8×10^-26kg、电荷量q=8×10^-19C的粒子（重力不计）从边界ad上某点D以某个速度射入．粒子从cd中点P孔射出，再经小孔Q进入相互正交的匀强电场和匀强磁场区域，区域宽度为2L，电场强度大小E=5×10⁵V/m，磁感应强度大小B₁=1T、方向垂直纸面向里，已知粒子经过QM正中间位置时有一段时间△t撤去了匀强电场．虚线ef、gh之间存在着水平向右的匀强磁场，磁感应强度大小为B₂=0.25T（图中未画出）．有一块折成等腰直角的硬质塑料板ABC（不带电，宽度很窄，厚度不计）放置在ef、gh之间（截面图如图），CB两点恰在分别位于ef、gh上，AC=AB=0.3m，a=45°．粒子恰能沿图中虚线QM进入ef、gh之间的区域，π取3．

（1）Dd距离；
（2）已知粒子与硬质塑料相碰后，速度大小不变，方向变化遵守光的反射定律．粒子从Q到gh过程中的运动时间和路程分别是多少？

Answer 1

分析 （1）根据粒子在电磁场中受力平衡求解速度大小，粒子在abcd磁场中作匀速圆周运动，根据洛仑兹力提供向心力求解半径，再由几何知识可得粒子射入点的位置在ad边上距d点的距离；
（2）粒子从P以速度v₀进入PQ、MN之间的区域，先做匀速直线运动，到平行板正中间做匀速圆周运动n圈，然后做匀速直线运动打到ab板上，以大小为v₀的速度垂直于磁场方向运动．求出粒子在正交的匀强电场和匀强磁场区域的运动时间，粒子将以半径R₃在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动，转动一周后打到ab板的下部．分析粒子在磁场中共碰到多少块板，根据运动规律求解总时间；最后根据运动情况得到总路程．

解答 解：（1）要使粒子能沿图中虚线PQ进入ef、gh之间的区域，则粒子所受到向上的洛伦兹力与向下的电场力大小相等，有qv₀B₁=qE，解得v₀=5×10⁵m/s，
粒子在abcd磁场中作匀速圆周运动，设半径为R₁，洛仑兹力提供向心力，有，qv₀B₀=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{1}^{\;}}$，解得R₁=0.1m，
作出粒子在磁场中轨迹图如图所示．

由几何知识可得R₁+R₁cosθ=$\frac{1}{2}$L，解得θ=60°，粒子射入点的位置在ad边上距d点为x=R₁sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{20}$m；
（2）粒子从P以速度v₀进入PQ、MN之间的区域，先做匀速直线运动，到平行板正中间做匀速圆周运动n圈，然后做匀速直线运动打到AB板上，以大小为v₀的速度垂直于磁场方向运动．粒子运动到在磁感应强度大小B₁=0.8T的匀强磁场中做圆周运动，由洛仑兹力提供向心力有qv₀B₁=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{2}^{\;}}$，运动周期T₁=$\frac{2πm}{q{B}_{1}^{\;}}$，
粒子在正交的匀强电场和匀强磁场区域的运动时间t₁=nT₁+$\frac{2L}{{v}_{0}^{\;}}$，其中n为正整数；
粒子将以半径R₃在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动，转动一周后打到AB板的下部．
由于不计板的厚度，所以质子从第一次打到AC板到第二次打到AC板后运动的时间为粒子在磁场运动一周的时间，即一个周期T₃，
由qv₀B₂=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{3}^{\;}}$和T₃=$\frac{2π{R}_{2}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}$，得T₃=$\frac{2πm}{q{B}_{2}^{\;}}$，
粒子在磁场中共碰到2块板，做圆周运动所需的时间为t₂=2T₃，
粒子进入磁场中，在v₀方向的总位移s₃=2Lsin45°、时间t₃=$\frac{s}{{v}_{0}^{\;}}$，
从Q到gh过程的总时间为t=t₁+t₂+t₃，
从Q到gh过程的总路程为M=2L+n（2πR₂）+2πR₃×2+s₃，
解得△t=（7.4×10^-6+7.5n×10^-7）s、
M=（6.112+0.3n）m．
答：（1）Dd距离为$\frac{\sqrt{3}}{20}m$；
（2）粒子从Q到gh过程中的运动时间为$（7.4×1{0}_{\;}^{-6}+7.5n×1{0}_{\;}^{-7}）s$，路程是（6.112+0.3n）．

点评 对于带电粒子在磁场中的运动情况分析，一般是确定圆心位置，根据几何关系求半径，结合洛伦兹力提供向心力求解未知量；根据周期公式结合轨迹对应的圆心角求时间；对于带电粒子在电场中运动时，一般是按类平抛运动的知识进行解答．