Question

【题目】如图所示，光滑水平面右端B处连接一个竖直的半径为R的光滑半圆轨道，B点为水平面与轨道的切点，在离B距离为x的A点，用水平恒力将质量为m的质点从静止开始推到B处后撤去恒力，质点沿半圆轨道运动到C处后又正好落回A点．试求：

（1）质点运动到C处时的速度大小．
（2）推力对小球所做的功．
（3）x取何值时，完成上述运动推力所做的功最小？最小功为多少．

Answer 1

【答案】
（1）

解：质点从半圆弧轨道做平抛运动又回到A点，设质点在C点的速度为vC，

质点从C点运动到A点所用的时间为t，则

在水平方向：x=vCt ①

竖直方向上：2R= gt2 ②

解①②有：vC= ③

（2）

解：对质点从A到C，由动能定理有：WF﹣mg2R= mvC2﹣0 ④

解得：WF= ⑤

（3）

解：要使F力做功最少，确定x的取值，由④式得 WF=mg2R+ mvC2﹣0，

则知，只要质点在C点速度最小，则功WF就最小．

若质点恰好能通过C点，其在C点最小速度为v，

由牛顿第二定律有：mg=m ，解得：v= ⑥

由③⑥有 = ，解得x=2R时，WF最小，最小的功WF=mg2R++ mvC2= mgR

【解析】（1）小球在恒定推力作用下，在光滑水平面做匀加速直线，当到达B点撤去恒力，让其在沿光滑半圆轨道运动到C处后，又正好落回A点．因小球离开C点后做平抛运动，已知高度与水平位移的情况下，可求出小球在C处的速度大小；（2）选取从A到C过程，由动能定理可求出推力对小球所做的功．（3）力F做功越小，小球到达B点的速度越小，到达最高点C的速度越小，当小球恰好到达C点时，由重力充当向心力，此时C点的速度最小，力F做功最小．先由牛顿第二定律求出小球通过C点的最小速度，然后求出最小功．