Question

6．如图，一半径R=0.7m的圆桌固定于水平地面，其上有一个半径为r=0.3m的可在电动机带动下绕圆心旋转的圆盘，与圆桌同心放置，A为圆盘上边缘上的一点，现用一长l=0.4m的轻绳一端系于A点，另一端栓一质量为m=1kg的物块（物块可视为质点）．物块与桌面间的滑动摩擦因数为μ=0.3，轻绳能承受的最大拉力T=5N，现给电动机通电使圆盘缓慢加速，直至轻绳拉断．（g取10m/s²）

（1）求轻绳刚好拉断时，物块所受的合力；
（2）求轻绳刚好拉断时，圆盘的角速度ω；
（3）试通过计算判断物块是否会从桌面滑落．若不能滑落求最终物块到O点的距离．

Answer 1

分析 （1）物体受重力、支持力、拉力和滑动摩擦力，合力提供向心力，根据平行四边形定则作图，结合几何关系得到物体的合力；
（2）结合几何关系得到半径转动R′，合力提供向心力，运用牛顿第二定律列式求解圆盘的角速度ω；
（3）细线断开后，物体沿着切线方向飞出，设能够到达桌子边缘，根据动能定理列式求解末速度．

解答 解：（1）物体受重力、支持力、拉力和滑动摩擦力，合力提供向心力，如图所示：

摩擦力：f=μmg=0.3×1×10=3N
故合力为：F=$\sqrt{{T}^{2}-{f}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}=4N$
（2）物体的时实际位置（设为B）、点A、点O构成等腰三角形，故sin∠ABO=$\frac{f}{T}=0.6$
故∠ABO=37°，
故转动半径为：R′=2lcos37°=2×0.4×0.8=0.64m
根据公式F=mω²R′，有：
ω=$\sqrt{\frac{F}{mR′}}$=$\sqrt{\frac{4}{1×0.64}}=2.5rad/s$
（3）细线断开后，物体沿着切线方向飞出，设能够到达桌子边缘，则相对位移为：
x=$\sqrt{{R}^{2}-R{′}^{2}}$=$\sqrt{0．{7}^{2}-0.6{4}^{2}}$≈0.284m
假设能够滑道桌子边缘，根据动能定理，有：
-μmg•x=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m（ωR′）^{2}$
解得：
v₁=$\sqrt{（ωR′）^{2}-4μgx}$=$\sqrt{（2.5×0.64）^{2}-4×0.3×10×0.284}$=$\sqrt{-0.848}$
无解，说明不能滑离桌面；
设实际位移为x′，根据动能定理，有：
-μmg•x′=$0-\frac{1}{2}m{（ωR′）}^{2}$
解得：
x′=$\frac{（ωR′）^{2}}{2μg}$=$\frac{（2.5×0.64）^{2}}{2×0.3×10}$=0.085m
故与O点的距离为：
S=$\sqrt{x{′}^{2}+R{′}^{2}}$=$\sqrt{0.08{5}^{2}+0.6{4}^{2}}$≈0.646m
答：（1）轻绳刚好拉断时，物块所受的合力为4N；
（2）轻绳刚好拉断时，圆盘的角速度ω为2.5rad/s；
（3）物块不能滑落，最终物块到O点的距离约为0.646m．

点评 本题关键是明确滑块的受力情况和运动情况，找到向心力来源，然后根据动能定理、牛顿第二定律并结合向心力公式列式分析，不难．