Question

如图所示，位于坐标原点O处的一粒子源P，在xoy平面内以同一速率v同时向y轴右侧（含y轴）各个方向发射相同的正粒子，粒子质量为m、电荷量为q．在由y轴和上、下两个与x轴相切于原点O、半径为b的圆弧所围成的区域（含边界）中，分别存在垂直于xoy平面的匀强磁场Ⅰ、Ⅱ．经过磁场区域后，粒子均沿x轴正方向运动，然后全部射人正对放置的金属平板之间，两平板垂直于y方向且关于x轴对称，板间距离为d，在金属板右侧放置垂直于x轴且足够大的接收屏MN．若两板间加上大小为U的恒定电压，只在板间形成沿y轴负方向的匀强电场，不计粒子重力及粒子间的相互作用．那么
（1）磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小是多少？方向如何？
（2）若全部粒子均能打在接收屏上，金属板的最大长度是多少？此时粒子在接收屏上的分布范围是多大？
（3）对由粒子源同一时刻发出的粒子而言，若沿x轴运动的粒子恰能从板间出射，且在其出射瞬间撤去电场，那么，打在接收屏上的粒子在进出金属板间的过程中，y方向动量变化的最小值是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）、由题意可分析，沿y轴正方向和负方向射出的粒子，由偏转方向可判断出两个区域的磁场方向，经偏转后均沿x轴的正方向运动，可得出其运动半径都是d，由洛伦兹力提供向心力列式求解可得出两个磁场的场强．
（2）、首先根据运动学公式，在竖直方向上可求出带电粒子的运动时间，在水平方向上，粒子一直做匀速直线运动，便可求出粒子在该时间内的水平位移，即为金属板的最大长度．
（3）、由运动学公式表示出沿x轴入射的粒子从板间射出的时间t₂与竖直方向的位移的关系，再分析所有粒子到达金属边间的最大时间差△t，便可得到动量变化△p的表达式，根据t₂-△t取值，可分析粒子沿y方向动量变化的最小值．
解答：解：
（1）、磁场Ⅰ的磁感应强度为B₁，方向垂直纸面向外，由题意可知，粒子在磁场中做圆周运动的半径是b，则有：

得：
磁场Ⅱ的磁感应强度为B₂，方向垂直纸面向内，由题意可知有：

（2）、由y=-b处入射的粒子恰能从金属板间射出，所用的时间为t₁，由牛顿第二定律可得粒子在y轴方向的加速度为：

由运动学公式有：
金属板的最大长度为：
L_max=vt₁
由以上各式可得：

所有粒子经电场都沿y的负方向偏移同样大小的量值，所以粒子在MN屏上的y方向分布范围为：
△y_MN=2b
（3）、沿x轴入射的粒子恰能从板间射出，所用的时间为t₂，则由运动学公式有：

由y=b处入射的粒子与y=0处入射的粒子刚到达金属板间的时间差最大，为：

y=b处入射的粒子在y方向的动量变化最小，其值为△p，由动量定理得：

当t₂-△t＞0时

当t₂-△t≤0时，粒子不经电场加速
△p=0
答：（1）磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小都为．方向分别为垂直纸面向外和向里．
（2）若全部粒子均能打在接收屏上，金属板的最大长度是，此时粒子在接收屏上的分布范围是2d．
（3）y方向动量变化的最小值是0．
点评：此题考察到了两方面的问题，一是在磁场中的偏转，一是在电场中的偏转．
对于带点粒子在磁场中的偏转，往往联系临界和多解问题，当粒子速度大小不变，速度方向变化；此时由于速度大小不变，则所有粒子运动的轨道半径相同，但不同粒子的圆心位置不同，其共同规律是：所有粒子的圆心都在以入射点为圆心，以轨道半径为半径的圆上，从而找出动圆的圆心轨迹，再确定运动轨迹的临界点．
粒子在电场中的偏转，把运动沿电场的方向和垂直于电场的方向进行分解，一是做初速度为零的匀加速直线运动，一是做匀速直线运动，分别运用运动学公式进行列式求解即可．