Question

如图是半径为R=0.5m的光滑圆弧形轨道，直径AC水平，直径CD竖直．今有质量为m=1kg的小球a从A处以初速度v=沿圆弧运动，与静止在圆弧底端B处直径相同的小球b发生碰撞．则（g=10m/s²）
（1）小球a在A处对轨道的压力多大？（结果保留两位有效数字）
（2）若小球b质量也为m，且a、b发生弹性碰撞，则碰后小球b的速度多大？
（3）若小球b质量为km（k＞0），且a、b碰后粘在一起，欲使ab不脱离轨道求k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）小球a做圆周运动，在A处由轨道的支持力提供向心力，由牛顿第二定律求出支持力，即可由牛顿第三定律求得小球a对轨道的压力；
（2）小球a由A到B过程中机械能守恒，求出a球与b球碰撞前的速度，a、b发生弹性碰撞，系统的动量和机械能均守恒，由两大守恒定律列式求解碰后小球b的速度；
（3）要使ab不脱离轨道，共同体在AC间运动，或在D点时，ab所需要的向心力应大于总重力，由动量守恒、ab向最高点运动过程机械能守恒和牛顿第二定律联合求解k的范围．
解答：解：（1）设小球a在A点受到的支持力为F_N，则
   F_N=m
代入数据解得F_N=108N
由牛顿第三定律可知小球a对轨道的压力等于F_N即108N．
（2）小球a由A到B过程中机械能守恒，设小球a到达B点的速度为v，则
  mgR=-
代入数据可解得 v=8m/s
碰撞过程a、b组成的系统动量守恒、机械能守恒，设碰后a、b球速度分别为v_a、v_b 则
  mv=mv_a+mv_b
 =+
由以上三式可解得  v_a=0，v_b=v； v_a=v，v_b=0（不合舍去）
故碰后b球速度为v_b=8m/s
（3）设碰后ab的速度为v_ab，到达D点的速度为V，则
   mv=（km+m）V   
≤（km+m）gR   
或=+（km+m）?2R  ③
（km+m）≥（km+m）g   ④
由①②解得k≥-1
由①③④解得k≤0.6
故欲使ab不脱离轨道须k≥-1或k≤0.6
答：（1）小球a在A处对轨道的压力是108N．
（2）若小球b质量也为m，且a、b发生弹性碰撞，则碰后小球b的速度是8m/s．
（3）若小球b质量为km（k＞0），且a、b碰后粘在一起，欲使ab不脱离轨道求k的取值范围是k≥-1或k≤0.6．
点评：本题是机械能守恒定律、牛顿第二定律和动量守恒定律的综合应用，关键是分析要使ab不脱离轨道的条件．