Question

5．如图，光滑斜面倾角37°且固定，球A在斜面底端正上方8m处以初速度v₁向右水平抛出，同时球B从斜面底部以初速度v₂开始上滑，调整两球速度关系，可使A球击中斜面时恰和B球相遇．若经过1s后两球相遇，则v₂大小为8m/s；已知v₁随v₂的减小而减小，则v₂的取值范围为小于3.8m/s时，v₁取任意值时两球都无法相遇．（取sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²）

Answer 1

分析 根据速度位移公式求出A上滑的最大位移，从而得出B的水平位移，结合平抛运动水平方向上的运动规律求出物体B抛出时的初速度．
A球落到斜面上，根据平抛运动的位移的关系，和B运动的位移之间的关系计算不相遇的临界条件．

解答 解：经过1s后两球相遇，
A球下降的高度为：h=$\frac{1}{2}$gt²=5m，
B球上升的位移为：x=$\frac{8-5}{sin37°}$=5m，
B球上升的加速度为：a=gsin37°=6m/s²，
对B球，根据位移时间的关系可得：v₂t-$\frac{1}{2}$at²=5m，
解得：v₂=8m/s；
对于A球，落到斜面上的时候，有：$\frac{{v}_{1}t}{8-\frac{1}{2}g{t}^{2}}=\frac{4}{3}$…①
对于B球，有：$\frac{{v}_{2}t-\frac{1}{2}a{t}^{2}}{{v}_{1}t}=\frac{5}{4}$…②
有②可得：v₁=$\frac{4}{5}$（v₂-3t）
代入①可得：$\frac{12t（{v}_{2}-3t）}{5}=32-20{t}^{2}$
整理得：v₂=$\frac{40}{3t}-\frac{16t}{3}$
运动时间的最大值为：t_m=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{1.6}$s
所以v₂＜$\frac{40}{3\sqrt{1.6}}-\frac{16\sqrt{1.6}}{3}$≈3.8m/s
v₂的取值范围为小于3.8m/s
故答案为：8，小于3.8m/s

点评 解决本题的关键理清物体的运动规律，结合运动学公式灵活求解，注意A、B不相遇的时候，AB位移之间的关系．