Question

7．如图所示，大型车间传送带常用较大轮子带动，为保持传送带水平稳定传输物体，在上部分皮带下方还安装有滚轮支撑（图中未画出），已知传送带两轮的半径r=1m，传动中传送带不打滑，质量为1kg的物体从光滑轨道A点无初速下滑（A点比B点高h=5m），物体与传送带之间的动摩擦因数μ=0.2，当传送带静止时，物体恰能在C点离开传送带，（物体视为质点）取g=10m/s²，则
（1）BC两点间距离为多少？
（2）当传送带两轮以12rad/s的角速度顺时针转动时，物体仍从A 点无初速释放，在整个过程中物体与皮带系统增加的内能为多少？
（3）电动机因运送物体而对传送带多做多少功？

Answer 1

分析 （1）物体恰能在C点离开传送带，在C点，由重力提供向心力，根据向心力公式求出物块通过C点时的速度．物块开始下滑到离开传送带的过程，利用动能定理可求得BC两点间距离．
（2）物体从A点下滑到B点的过程，根据动能定理求出物块B点的速度．根据动能定理求出物块在传送带匀加速的位移，并求出匀加速运动时间，得到物块与传送带间的相对位移，再求系统增加的内能．
（3）电动机因运送物体而对传送带多做的功等于皮带克服摩擦力做的功．

解答 解：（1）设物体质量为m，在C点时的速度为v_C，BC间距离为x．
物体恰能在C点离开传送带，则有：mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{r}$
物体开始下滑到离开传送带的过程，由动能定能得：mgh-μmgx=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
联立得：v_C=$\sqrt{10}$m/s，x=22.5m
（2）设物体滑到B点的速度为v_B，由动能定能得：mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
得：v_B=10m/s
传送带的速度为：v=ωr=12m/s
所以物体先做匀加速运动，由动能定理得：μmgx₁=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得 x₁=11m，小于传送带的长度，所以物体先匀加速再匀速
匀加速时加速度为 a=μ=2m/s²．
解得 Q=2J
物体在BC段加速到与传送带速度相等的时间为：t=$\frac{v-{v}_{B}}{a}$=$\frac{12-10}{2}$=1s
皮带在这段时间内经过的位移为：x₂=vt=12m
则物体与皮带间相对位移为：△x=x₂-x₁=1m
在整个过程中物体与皮带系统增加的内能为 Q=μmg△x（3）皮带保持匀速，电动机对皮带多做的功与皮带克服摩擦力做功相同，即有 W=μmgx₂=24J
答：（1）BC两点间距离为22.5m．
（2）当传送带两轮以12rad/s的角速度顺时针转动时，物体仍从A 点无初速释放，在整个过程中物体与皮带系统增加的内能为2J．
（3）电动机因运送物体而对传送带多做功为24J．

点评 解决本题的关键是要理清物体的运动过程，知道物体的运动规律，结合动能定理、牛顿第二定律和运动学公式进行求解．