Question

17．如图所示，质量不同的A、B两物块分别位于粗糙传送带的底端和顶端，且同时开始运动．已知物块A的初速度V₁=8m/s，沿传送带向下，且与传送带之间的动摩擦因数μ₁=0.5．而物块B的初速度V₂=12m/s，沿传送带向上．该传送带倾角α=37°，且以V=10m/s的速度顺时针转动．其顶端离地面高度为h=12m（滑轮体积可忽略）．经过1.2s的时间，A、B两物块于传动带上的某一位置相遇，试求：
（1）该相遇位置的高度；
（2）B物块与传送带之间的动摩擦因数μ₂．（sin37°=0.6，取g=10m/s²）

Answer 1

分析 （1）物体放上A，开始所受的摩擦力方向沿斜面向下，根据牛顿第二定律求出加速度的大小，以及运动到与传送带速度相同所需的时间和位移，由于重力沿斜面向下的分力大于最大静摩擦力，两者不能保持相对静止，速度相等后，物体所受的滑动摩擦力沿斜面向上，再结合牛顿第二定律和运动学公式求出1.2s内运动的位移，从而求出相遇位置的高度；
（2）根据相遇点的高度求出B再1.2s内运动的位移，再根据牛顿第二定律结合运动学基本公式求解即可．

解答 解：（1）A刚开始运动时，由于速度小于传送带速度，所以先做匀加速运动，
根据牛顿第二定律得：${a}_{1}=\frac{mgsin37°+{μ}_{1}mgcos37°}{m}$=gsin37°+μ₁gcos37°=10×0.6+0.5×10×0.8m/s²=10m/s²
则速度达到传送带速度所需的时间${t}_{1}=\frac{v-{v}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{10-8}{10}=0.2s$．
经过的位移${x}_{1}=\frac{{v}_{1}+v}{2}{t}_{1}=\frac{8+10}{2}×0.2=1.8m$．
由于mgsin37°＞μ₁mgcos37°，可知物体与传送带不能保持相对静止．
速度相等后，物体所受的摩擦力沿斜面向上，
根据牛顿第二定律得，${a}_{2}=\frac{mgsin37°-{μ}_{1}mgcos37°}{m}$=gsin37°-μ₁gcos37°=2m/s²
A继续匀加速运动的时间t₂=t-t₁=1.2-0.2=1s，
运动的位移${x}_{2}=v{t}_{2}+\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{2}}^{2}=10×1+\frac{1}{2}×2×1=11m$，
则相遇前A物体运动的总位移为x=x₁+x₂=1.8+11=12.8m，
下落的高度h′=xsin37°=12.8×0.6=7.68m，
所以相遇位置的高度h₁=h-h′=12-7.68=4.32m
（2）相遇时B物体运动的位移${x}_{3}=\frac{{h}_{1}}{sin37°}=\frac{4.32}{0.6}=7.2m$，
根据牛顿第二定律得：
B上滑时的加速度${a}_{3}=\frac{m′gsin37°+{μ}_{2}m′gcos37°}{m′}$=gsin37°+μ₂gcos37°=6+8μ₂，
根据位移时间公式得：${x}_{3}={v}_{2}t-\frac{1}{2}{a}_{3}{t}^{2}$
解得：μ₂=0.5
答：（1）该相遇位置的高度为4.32m；
（2）B物块与传送带之间的动摩擦因数μ₂为0.5．

点评 解决本题的关键理清物体的运动规律，知道A物体先做匀加速直线运动，速度相等后继续做匀加速直线运动，两次匀加速直线运动的加速度不同，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．